学分析讲义 4几个例子 例1:求积分:1) 其中a,b>0。 方法一,利用交换积分次序的定理 ddx,由于 所以e在y∈a]上一致收敛,由定理3 dx dy_In b cos ax-cos b 考虑积分[,x=0不是瑕点,由于: x os Ay2 snx1 并且x→+∞时,在y∈[ab]上单调一致趋于零, 由Drht别法知在yEa上一致收敛,由定理3, cos ax-cos bx 方法二,利用积分号下求导定理 1)令:1(y)= 由于P(y)=「"e=,所以(b)=Jr(y)小+)= d,则:I(a)=0,I(b)= 2)令:()=「在, 则!:f(a)=0,1(b)= m cos ax-cos bx r()=a=2,()=r(y)+(a)=2( SIn Bx 例2:计算下列积分:1) e cos Bxd,2) β dx,其中a>0 解:1)由于| e- cos Bxd= -acos Bx+ Bsin Bx]+C +B 13.127数学分析讲义 13.127 4 几个例子 例 1：求积分：1) 0 ax bx e e dx x - - +¥ - ò ， 2) 2 0 cosax cosbx dx x +¥ - ò ，其中a b, 0 > 。 解： 方法一，利用交换积分次序的定理。 1) 0 0 ( ) ax bx b xy a e e dx e dy dx x - - +¥ +¥ - - = ò ò ò ，由于 xy ax e e - - £ ， 所以 0 xy e dx +¥ - ò 在 yÎ[a b, ]上一致收敛，由定理 3， 0 0 ( ) ln ax bx b b xy a a e e dy b dx e dx dy x y a - - +¥ +¥ - - = = = ò ò ò ò 。 2) 2 0 0 cos cos b sin a ax bx xy dx dy dx x x +¥ - +¥æ ö = ç ÷ è ø ò ò ò ， 考虑积分 0 sin xydx x +¥ ò ， x = 0 不是瑕点，由于： 0 1 cos 2 sin A Ay xydx y a - = £ ò ， 并且 x ®+¥ 时， 1 x 在 yÎ[a b, ]上单调一致趋于零， 由 Dirichlet 判别法知 0 sin xydx x +¥ ò 在 yÎ[a b, ]上一致收敛，由定理 3， ( ) 2 0 0 cos cos sin 2 2 b b a a ax bx xy dx dx dy dy b a x x +¥ - æ ö +¥ p p = ç ÷ = = - è ø ò ò ò ò 。 方法二，利用积分号下求导定理。 1) 令： ( ) 0 ax xy e e I y dx x - - +¥ - = ò ，则：I a( ) = 0， ( ) 0 ax bx e e I b dx x - - +¥ - = ò ； 由于 ( ) 0 xy 1 I y e dx y +¥ - ¢ = = ò ，所以 ( ) ( ) ( ) ln b a b I b I y dy I a a = ¢ + = ò 。 2) 令： ( ) 2 0 cosax cos xy I y dx x +¥ - = ò ， 则： I a( ) = 0， ( ) 2 0 cosax cosbx I b dx x +¥ - = ò ； ( ) 0 sin 2 xy I y dx x +¥ p ¢ = = ò ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 b a I b I y dy I a b a p = ¢ +=- ò 。 例 2：计算下列积分： 1) 0 cos ax e b xdx +¥ - ò ， 2) 0 ax sin x e dx x +¥ - b ò ， 3) 0 sin x dx x +¥ b ò ，其中a > 0 。 解： 1) 由于 [ ] 2 2 cos cos sin ax ax e e xdx a x x C a b bbb b - - = - + + + ò