含参量的积分 所以 r e cos Bxdx= 2)令(B)=「e sin Bx g: 1(0)=0, I'(B)=e"cos Bxdx 2+B ° dp+1( B 3)当a≥0时,由于「”5xa一致收敛,c1是单调一致有界的 由Abel判别法,I(B)对于a≥0是一致收敛的, SIn Bx 所以 dx=lim I(B)=snp 例3:计算积分J=e- 解:方法一,利用利用函数列的一致收敛性。 因为(1+x在0小上连续,e∈C[小1+x是单调下降函数 并1+)→由Dm定理知上述收效在上是一致收敛的 又由于0<1+ \分所以xdx关于n是一致收敛的 C(“)血=()“如,面积分 ()2(+)2( !! 利用wal公式:lim n→√2n+1(2n 我们有 方法二,利用积分号下求导定理。令:I()= 则有:(0)= m()=0 r(=-"chx对于126>0-致收敛,并且 13.128含参量的积分 13.128 所以 2 2 0 cos ax a e xdx a b b +¥ - = + ò 。 2) 令 ( ) 0 ax sin x I e dx x b b +¥ - = ò ， 则： I (0 0 ) = ， 2 2 0 ( ) cos ax a I e xdx a b b b +¥ - ¢ = = + ò ， ( ) ( ) 2 2 0 0 arctan a I d I a a b b b b b = + = + ò 。 3) 当a ³ 0 时，由于 0 sin x dx x +¥ b ò 一致收敛， 1 ax e - £ 是单调一致有界的， 由 Abel 判别法， I(b )对于a ³ 0 是一致收敛的， 所以： ( ) 0 0 sin lim sgn a 2 x dx I x b p b b + +¥ ® = = ò 。 例 3：计算积分 2 0 x J e dx +¥ - = ò 。 解： 方法一，利用利用函数列的一致收敛性。 因为 2 1 n x n - æ ö ç ÷ + è ø 在[0, A]上连续， [ ] 2 0, x e C A - Î ， 2 1 n x n - æ ö ç ÷ + è ø 是单调下降函数 列，并且 2 2 1 n x x e n - - æ ö ç ÷ + ® è ø ，由 Dini 定理知上述收敛在[0, A]上是一致收敛的； 又由于 2 2 1 0 1 1 n x n x - æ ö < ç ÷ + £ è ø + ，所以 2 0 1 n x dx n - +¥æ ö ç ÷ + è ø ò 关于n 是一致收敛的； 因此： 2 2 2 0 0 0 lim 1 lim 1 n n x n n x x dx dx e dx n n - - +¥ +¥ +¥ - ®+¥ ®¥ æ ö æ ö ç +=+= ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò ò ，而积分： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0 0 2 3 !! 1 1 cos 2 2 2 !! n n n x n dx n t dt n ydy n n n p p - +¥ +¥ - æ ö - - ç ÷ + = + = = è ø - ò ò ò 利用 Wallis 公式： ( ) ( ) 2 !! lim n 2 1 2 1 !! 2 n n n p ®¥ = + - ， 我们有： 2 0 2 x e dx +¥ - p = ò 。 方法二，利用积分号下求导定理。令： ( ) ( ) 2 1 2 0 1 t x e I t dx x - + +¥ = + ò ， 则有： ( ) 2 0 0 1 2 dx I x +¥ p = = + ò ， lim 0 ( ) t I t ®+¥ = ， ( ) ( ) 2 1 0 t x I t e dx +¥ - + ¢ = -ò 对于t ³ > d 0一致收敛，并且：