学分析讲义 所以(4)-1()=如=-m在 令δ→0,A→+∞,我们有:-=-2J2,所以:J 例4:计算积分cc02x 解:令:f(B)= e-".xd, r(B)=。2xe-sn2xt,对于B∈(-0+)致收敛。因此 I'(B)=sin2B xde=-oe.2Bcos2Bxdx=-2B1(B) 求得:1()=CF,再利用1(O)=∫"e-h=x 我们有:(B)=xe",即:「"e-2cos2xk=xe 例5:计算两个 Laplace积分:(B)=」「 Bx及(B)=”3Bx,a>0 x +a 解:当6>0时,因为[smps2,并且在B∈[,+2)上单调致 +oxSinBx 收敛趋于零,由 Dirichlet判别法,积分J(B)= dx在B∈[6,+∞) 上一致收敛。 所以由定理5,(B)= dx。考虑到 ()+2= in Bx sinX x 由于I(B)= cos Bx dxx对于B∈6,+∞)一致收敛,再利用定理5,有 x +a r(B)+|=a 即:(B)=a2(B) x+a 由此,我们得到:I(B)=Ce+Ce 又因为:|1(B) db =,所以lm(B)=0,代回到上面f(B) →+∞ 的表达式中,我们有C1=0,因此(B)=C2e 13.129数学分析讲义 13.129 ( ) ( ) 2 1 2 0 0 1 y tx t x t y t J I t e dx e dy t te +¥ - + = +¥ - - ¢ = - = - = - ò ò 所以： ( ) ( ) 2 2 A A t x x t dt I A I J J e dx te d d d = - - = - = - ò ò 令d 0 ® + ， A ®+¥ ，我们有： 2 2 2 J p - = - ，所以： 2 J p = 。 例 4：计算积分 2 0 cos2 x e b xdx +¥ - ò 。 解： 令： ( ) 2 0 cos2 x I b b e xdx +¥ - = ò ， ( ) 2 0 2 sin2 x I b b xe xdx +¥ - ¢ = -ò ，对于 b Î(-¥,+¥) 一致收敛。因此： ( ) ( ) 2 2 0 0 sin2 2 cos2 2 x x I b b xde e b bxdx I b b +¥ +¥ - - ¢ = = - × = - ò ò ， 求得： ( ) 2 I Ce b b - = ，再利用 ( ) 2 0 0 2 x I e dx + ¥ - p = = ò ， 我们有： ( ) 2 2 I e p b b - = ，即： 2 2 0 cos2 2 x e xdx e p b b +¥ - - = ò 。 例 5：计算两个 Laplace 积分： ( ) 2 2 0 cos x I dx x b b a +¥ = + ò 及 ( ) 2 2 0 x x sin J dx x b b a +¥ = + ò ，a > 0 。 解： 当d > 0 时，因为 0 2 sin A b xdx d £ ò ，并且 2 2 x x +a 在 b d Î[ ,+¥) 上单调一致 收敛趋于零，由 Dirichlet 判别法，积分 ( ) 2 2 0 x x sin J dx x b b a +¥ = + ò 在 b d Î[ ,+¥) 上一致收敛。 所以由定理 5， ( ) 2 2 0 x x sin I dx x b b a +¥ ¢ = - + ò 。考虑到： ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0 0 sin sin sin 2 x x x x I dx dx dx x x x x p b b b b a a a +¥ +¥ +¥ ¢ + = - + = + + ò ò ò 由于 ( ) 2 2 0 cos x I dx x b b a +¥ = + ò 对于 b d Î[ ,+¥) 一致收敛，再利用定理 5，有： ( ) 2 2 2 0 cos 2 x I dx x p b b a a ¢ + ¥ é ù ¢ + = ê ú ë û + ò ，即： ( ) ( ) 2 I I ¢¢ bab = 。 由此，我们得到： ( ) 1 2 I C e C e ab ab b - = + 。 又因为： ( ) 2 2 0 2 dx I x p b a a +¥ £ = + ò ，所以 lim 0 I( ) a b ®+¥ = ，代回到上面 I(b ) 的表达式中，我们有C1 = 0 ，因此 ( ) 2 I C e ab b - =