含参量的积分 最后,考虑到limI(B)= B→0 ∫n=4=2n,推出C=元 (B) 而当>0时,(1)“3Bx在=()=-c,因此,一般地 因而J(B)= §4欧拉积分: Gamma函数与Beta函数 这一节中我们介绍一类特殊的含参量广义积分,即欧拉积分,并引入由此定义的两种特 殊函数:B函数与r函数。 Gamma函数 定义1:含参量的广义积分[e1-定义了关于参量x的函数, 记作:r(x)=cr-b 称这一函数为r函数( Gamma函数),也成为第二类Euer积分。 由定义可以看出r(x)是定义在x>0上的函数 定理1:(x)∈C(0 证明:首先x>0时,积分[ed是收敛的(t=0为瑕点) 对于δ>0,Wx∈[6,+∞),t∈[0,,有 因而积分c在x∈[6,+∞)上是一致收敛的 其次,积分∫cr在x∈(0,+∞)上是一致收敛的 所以:erd在x∈5,+2)上一致收敛,因此r(x)∈C(0,+ 证毕 定理2:(x)∈C(0+),并且(x)=厂"er-(n)t 证明:A>a>0时,Wx∈[a4 当/∈p,l"(my1r"(mry,而积分∫“(mryd收敛 13.13含参量的积分 13.130 最后，考虑到 ( ) 2 2 0 0 lim 2 dx I b x p b a a + +¥ ® = = + ò ，推出 2 2 C p a = ， 即： ( ) 2 I e p ab b a - = 。 而当 b > 0 时， ( ) ( ) 2 2 0 sin 2 x x J dx I e x b p ab b b a +¥ - = = - ¢ = - + ò ，因此，一般地： 因而 ( ) sgn 2 J e p ab b b - = - 。 §4 欧拉积分：Gamma 函数与 Beta 函数 这一节中我们介绍一类特殊的含参量广义积分，即欧拉积分，并引入由此定义的两种特 殊函数： b 函数与G 函数。 1 Gamma 函数 定义 1：含参量的广义积分 1 0 t x e t dt +¥ - - ò 定义了关于参量 x 的函数， 记作： ( ) 1 0 t x x e t dt +¥ - - G = ò ， 称这一函数为G 函数（Gamma 函数），也成为第二类 Euler 积分。 由定义可以看出G( x) 是定义在 x > 0 上的函数。 定理 1：G( x C )Î (0,+¥)。 证明： 首先 x > 0 时，积分 1 1 0 t x e t dt - - ò 是收敛的（t = 0为瑕点） 对于d > 0 ，"xÎ[d,+¥) ，t Î[0,1]，有 t x t 1 1 e t t e - - d - - £ 因而积分 1 1 0 t x e t dt - - ò 在 x Î[d ,+¥)上是一致收敛的； 其次，积分 1 1 t x e t dt +¥ - - ò 在 x Î(0,+¥) 上是一致收敛的， 所以： 1 0 t x e t dt +¥ - - ò 在 x Î[d ,+¥)上一致收敛，因此G( x C )Î (0,+¥)。 证毕 定理 2： ( ) ( ) x C (0, ) ¥ G Î +¥ ，并且 ( ) ( ) ( ) 1 0 ln n n t x x e t t dt +¥ - - G = ò 。 证明： A a > > 0 时，" Îx [a A, ] 当t Î[0,1]， ( ) ( ) 1 1 ln ln t x a n n e t t t t - - - £ ，而积分 ( ) 1 1 0 ln n a t t dt - ò 收敛