Ex=Fx-Nx∈B 因此(i)得证由定理3,W(F)是A可测的由于,A关于是完备的,并且 V(E=VF-V(N=V(F) 故v(Ex)是.可测的(参见第三章习题第7题)注意到(×v(N)=0,由定理3(i),我 们有 Xv)(E))=(uXV)(F)=V(F dv=ME,) 即(4)成立.因此(i)得证.由于对任意实数a, (x,y):f(x,y)<a}∈ 于是由结论(1),对几乎所有x∈X,我们有 {y∈Y:f(x,y)<a}={(x,y):f(x,y)<a}x∈. 即f(y)=f(x,y)是(Y,,v)上的可测函数.因此(i)得证 由对称性,关于E,和川(E,)成立类似于定理3引理4和定理5的结果 设(X,4,p)和(,罗,v是两个测度空间,f(x,y)是X×Y上的可测函数.若对几 乎所有固定的x∈X,f(x,y)在Y上的积分存在记g(x)=Jf(x,y)dv.(g(x)可能 在一个4-零测度集上没有定义,在这个零测度集上令g(x)=0).若g(x)是X上的可测 函数并且在X上的积分存在,则称∫的二次积分存在,并且称,g(x)4为∫的二次积 分记为,0,如或d类似可以定义另一个顺序的二次积分dn 关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系,我们由如下的定理这 是本节最主要的结果 定理6( Fubini定理)设(X,4,p)和(Y,,v是两个完备的a-有限的测度空间.则 ()若f是(Xx,0m,xV)上的非负可测函数,则1(x)=Jf(x,y)dv和 J(y)=[f(xy)d分别是X和y上的非负可测函数并且成立 x fduxv=f dvl=ff. fd lv (i)若∫是(XxY,mx,×v)上的可积函数,则(x)=f(x,y)dv和 J(y)=J(xyd分别是关于和v可积的,并且(S成立 证明()由对称性我们只需证明(x)=f(xy)v是x上的非负可测函数,并 且成立 fduxv=f dvl 6129 Ex = Fx − Nx ∈B, a.e. 因此(i) 得证. 由定理 3, ( ) ν Fx 是A 可测的. 由于A 关于 µ 是完备的, 并且 ( ) ( ) ( ) ( ), a.e. ν Ex =ν Fx −ν Nx =ν Fx 故 ( ) ν Ex 是 A 可测的(参见第三章习题第 7 题). 注意到(µ ×ν )(N) = 0, 由定理 3 (ii) , 我 们有 ∫ ∫ ( × )( )) = ( × )( ) = ( ) = ( ). µ ν E µ ν F ν Fx dν ν Ex 即(4)成立. 因此(ii) 得证. 由于对任意实数 a, {(x, y) : f (x, y) < a}∈ Mµ×ν . 于是由结论(i), 对几乎所有 x ∈ X , 我们有 { . y ∈Y : f (x, y) < a} = {(x, y) : f (x, y) < a}x ∈ B 即 f ( y) f (x, y) x = 是(Y, B,ν ) 上的可测函数. 因此(iii) 得证. 由对称性,关于 Ey 和 (( ) µ Ey 成立类似于定理 3,引理 4 和定理 5 的结果. 设 (X , A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个测度空间, f (x, y) 是 X ×Y 上的可测函数. 若对几 乎所有固定的 x ∈ X , f (x, y) 在Y 上的积分存在. 记 g(x) f (x, y) dν. ∫Y = ( g(x) 可能 在一个 µ − 零测度集上没有定义, 在这个零测度集上令 g(x) =0). 若 g(x) 是 X 上的可测 函数并且在 X 上的积分存在, 则称 f 的二次积分存在, 并且称 g x dµ ∫X ( ) 为 f 的二次积 分,记为 ( fdν )dµ ∫ ∫ X Y 或 . ∫ ∫ X Y dµ fdν 类似可以定义另一个顺序的二次积分 ∫ ∫ Y X dν fdµ. 关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系, 我们由如下的定理. 这 是本节最主要的结果. 定理6 (Fubini定理)设(X , A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个完备的σ − 有限的测度空间. 则 (i). 若 f 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的非负可测函数, 则 ∫ = Y I(x) f (x, y)dν 和 ∫ = X J ( y) f (x, y)dµ 分别是 X 和Y 上的非负可测函数. 并且成立 ∫ × × = X Y f dµ ν ( fdν )dµ ∫ ∫ X Y = ( ) . ∫ ∫ Y X fdµ dν (5) (ii). 若 f 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的可积函数 , 则 ∫ = Y I(x) f (x, y)dν 和 ∫ = X J ( y) f (x, y)dµ 分别是关于 µ 和ν 可积的. 并且(5)成立. 证明 (i).由对称性, 我们只需证明 ∫ = Y I(x) f (x, y)dν 是 X 上的非负可测函数, 并 且成立 ∫ × × = X Y f dµ ν ( fdν )dµ ∫ ∫ X Y (6)