先设∫=lE是特征函数,其中E∈.M/x由定理5(1),对几乎所有x∈X,E∈罗.于 是 SIE(x, ydv=IE,(y)dv=v(E,).H-ae 由定理5(i),V(E2)是X上的可测函数并且 ∫ REdux=(xE)=JE,)d=.(∫drka 这表明当∫是特征函数时,I(x)=f(x,y)dv是X上的非负可测函数并且(6)成立.由 积分的线性性质知道,当∫是非负简单函数时,(x)是X上的非负可测函数并且(6)成立 般情形,设∫是非负可测函数则存在非负简单函数列{fn}使得fn↑∫.由上面的证 明,l(x)=J(xyd是x上的非负可测函数.由单调收敛定理得到 ∫f(x.y)d↑J(xy)dv.因此1(x)是x上的非负可测函数再对函数列{n)应用 单调收敛定理,我们有 Sy. Sduxv=limy S,duxv= limL, (,S, drAu= dvp 即(6)成立.因此(i)得证 (i).由对称性,我们只需证明I(x)是关于可积的,并且(6)成立.由()的结论 (xy)dv和∫(xy)dv是X上的非负可测函数因此/(x)是X上的可测函数 对∫和∫分别运用(6),我们有 f dp fdv fdi 注意由于∫是关于xv可积的,故上式中出现的积分都是有限的,因此作减法运算是允 许的这就证明了(x)是关于可积的,并且(6)成立 推论7设(X,A,)和(,,v)是两个完备的a-有限的测度空间,∫是 (X×y,,4xv)上的可测函数若 「 dv urdu<+或∫4Jv<+ 则∫可积并且成立 fduxv=L. fdv=ldv. fau 证明设jdr<+,由Fm定理我们有130 先设 E f = I 是特征函数, 其中 E ∈Mµ×ν . 由定理 5 (i), 对几乎所有 x ∈ X , Ex ∈B. 于 是 ( , ) ( ) ( ). x Y Y I E x y d I E y d E x ν = ν =ν ∫ ∫ µ − a.e.. 由定理 5 (ii) , ( ) ν Ex 是 X 上的可测函数. 并且 I dµ ν (µ ν )(E) ν (E )dµ ( I dν ).dµ. X Y E X x X Y ∫ E ∫ ∫ ∫ × = × = = × 这表明当 f 是特征函数时, ∫ = Y I(x) f (x, y)dν 是 X 上的非负可测函数并且(6)成立. 由 积分的线性性质知道, 当 f 是非负简单函数时, I(x) 是 X 上的非负可测函数并且(6)成立. 一般情形, 设 f 是非负可测函数. 则存在非负简单函数列{ }n f 使得 f f . n ↑ 由上面的证 明 , ∫ = Y I n (x) f n (x, y)dν 是 X 上的非负可测函数 . 由单调收敛定理得到 ( , ) ( , ) . ∫ ∫ ↑ Y Y f n x y dν f x y dν 因此 I(x) 是 X 上的非负可测函数. 再对函数列{ }n I 应用 单调收敛定理, 我们有 f dµ ν lim f dµ ν lim ( f dν )dµ ( fdν )dµ. X Y X Y n X Y n n X Y n ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ × = × = = × →∞ × →∞ 即(6)成立. 因此(i) 得证. (ii). 由对称性, 我们只需证明 I(x) 是关于 µ 可积的, 并且(6)成立. 由 (i) 的结论, ∫ + Y f (x, y)dν 和 ∫ − Y f (x, y)dν 是 X 上的非负可测函数. 因此 I(x) 是 X 上的可测函数. 对 + f 和 − f 分别运用(6), 我们有 ( )( ) ( ) ν µ. ν µ ν µ µ ν µ ν µ ν fd d f d d f d d f d f d f d X Y X Y X Y X Y X Y Y X ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = − × = × − × + − × × + − × 注意由于 f 是关于 µ ×ν 可积的, 故上式中出现的积分都是有限的, 因此作减法运算是允 许的. 这就证明了 I(x) 是关于 µ 可积的, 并且(6)成立. 推论 7 设 (X , A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个完备的 σ − 有限的测度空间, f 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的可测函数. 若 < +∞ ∫Y ∫X dν f dµ 或 < +∞, ∫X ∫Y dµ f dν 则 f 可积并且成立 ∫ × × = X Y f dµ ν ∫ ∫ X Y dµ fdν = ∫ ∫ Y X dν fdµ. (7) 证明 设 < +∞ ∫Y ∫X dν f dµ . 由 Fubini 定理, 我们有