「,duxv=Jagd<+ 即∫可积.再由 Fubini定理即知()成立.■ 注2在Fum定理中若f(xy)是可积的则由于(x)=J(xydw是关于p 可积的.因此函数I(x)几乎处处有限这表明对几乎所有x∈X,f2(y)=f(x,y)是关 于V可积的同理,对几乎所有y∈Y,函数,(x)=f(x,y)是关于可积的 注3在 Fubini定理中,若去掉(X,A,)和(Y,,v)是完备的这个条件,则当∫是 (X×Y,4×,Xv)上的非负可测函数或可积函数时,定理的结论仍成立.其证明与定 理6的证明是类似的.只是此时不用定理5而直接引用定理3就可以了 例1设(X,,A,p)是一个σ-有限的测度空间,∫是X上的非负可测函数 1≤p<+∞.则 pAu= pl fx: f(x)>1)dt 证明令E={(x,D1):f(x)>t≥0},则E,={x:∫(x)>t}.显然∫(x)-t是乘积 空间(X×R,×.M(R,4xm)上的可测函数 故 E={(x,D):f(x)-1>0}∈了×.(R).因此函数g(x)=l2(x,D)是关于 ×(R)可测的由 Fubini定理我们有 「f(x)2d=Jpr2d pre-ldtf /is(pn,(xdu p"({x:f(x)>t})d 下面我们将本节的结果用到R”上的 Lebesgue积分上去 定理8设(R)和(R2)分别是R和R2上的 borel g-代数,m1和m2分别是 R和R2上的 Lebesgue测度.则f(R)xB(R)=B(R2)并且在(R2)上 m1×m1=m2.即 (R×R,O(R)×B(R),m1xm)=(R2,(R2),m2) 证明设是R2中的左开右闭方体的全体生成的环,是由R2中的 Lebesgue可 测矩形的全体生成的环则G(R)=B(R2),σ(R)=B(R)×B(R).由于c (R2)=()ca()=f(R)×B(R) 反过来,令P1和p2是R2到R的投影函数,即p(x,y)=x,p2(x,y)=y.则p1和 P2都是连续的,因而是R2上的 Borel可测函数由§31定理2,若A,B∈f(R),则 p(A)∈(R2),p2(B)∈(R2).于是131 ∫ × × = X Y f dµ ν < +∞. ∫ ∫ Y X dν f dµ 即 f 可积. 再由 Fubini 定理即知(7)成立. 注 2 在 Fubini 定理中, 若 f (x, y) 是可积的. 则由于 ∫ = Y I(x) f (x, y)dν 是关于 µ 可积的. 因此函数 I(x) 几乎处处有限. 这表明对几乎所有 x ∈ X , f ( y) f (x, y) x = 是关 于ν 可积的. 同理, 对几乎所有 y ∈Y, 函数 f (x) f (x, y) y = 是关于 µ 可积的. 注 3 在 Fubini 定理中, 若去掉(X , A,µ) 和(Y, B,ν ) 是完备的这个条件, 则当 f 是 (X ×Y,A ×B,µ ×ν )上的非负可测函数或可积函数时, 定理的结论仍成立. 其证明与定 理 6 的证明是类似的. 只是此时不用定理 5 而直接引用定理.3 就可以了. 例 1 设 (X , A,µ) 是一个 σ − 有限的测度空间, f 是 X 上的非负可测函数, 1 ≤ p < +∞. 则 ∫ ∫+∞ − = > 0 1 f d p t ({x : f (x) t})dt. p p µ µ 证明 令 E = {(x,t) : f (x) > t ≥ 0}, 则 E {x : f (x) t}. t = > 显然 f (x) − t 是乘积 空 间 ( , ( ), ) 1 1 X × R F ×M R µ × m 上的可测函数 , 故 E = {(x,t) : f (x) − t > 0}∈ ( ) 1 F ×M R . 因此函数 I (x) I (x,t) Et = E 是关于 ( ) 1 F ×M R 可测的. 由 Fubini 定理我们有 ({ : ( ) }) . ( ) ( ) ( ) 0 1 0 { : ( ) } 1 0 { : ( ) } 1 ( ) 0 1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ − +∞ > − +∞ > − − = > = = = pt x f x t dt pt dt I x d d pt I x dt f x d d pt dt p X x f x t p X x f x t p X f x p X p µ µ µ µ µ 下面我们将本节的结果用到 n R 上的 Lebesgue 积分上去. 定理 8 设 ( ) 1 B R 和 ( ) 2 B R 分别是 1 R 和 2 R 上的 Borelσ − 代数, m1和 m2 分别是 1 R 和 2 R 上 的 Lebesgue 测 度 . 则 ( ) × 1 B R ( ) = 1 B R ( ) 2 B R 并且在 ( ) 2 B R 上 . m1 × m1 = m2 即 ( × , ( )× ( ), 1 × 1 ) = 1 1 1 1 R R B R B R m m ( , ( ), ). 2 2 2 R B R m 证明 设R 是 2 R 中的左开右闭方体的全体生成的环, R ′ 是由 2 R 中的 Lebesgue 可 测矩形的全体生成的环. 则σ (R ) = ( ), 2 B R σ (R ′) = ( ) × 1 B R ( ). 1 B R 由于R R ⊂ ′ , 因此 ( ) = 2 B R σ (R ) ⊂ σ (R ′) = ( ) × 1 B R ( ). 1 B R 反过来, 令 1 p 和 2 p 是 2 R 到 1 R 的投影函数, 即 ( , ) , . 1 p x y = x p (x, y) = y 2 . 则 1 p 和 2 p 都是连续的, 因而是 2 R 上的 Borel 可测函数. 由 3.1 定理 2, 若 A, B ∈ ( ) 1 B R , 则 ∈ − ( ) 1 p1 A ( ) 2 B R , ∈ − ( ) 1 p2 B ( ). 2 B R 于是