AxB=(AxR)∩(R×B)=p(4)∩p2(B)∈B(R2) 故R’c(R2).于是 (R)×(R)=a()cB(R2) 因此(R)×B(R)=B(R2)由乘积测度的定义容易知道在R上m1Xm1=m2由 §2.2定理6知道在a()上m1Xm1=m2即在B(R2)上面m1xm1=m2 定理9两个一维 Lebesgue测度空间的乘积测度空间是二维 Lebesgue测度空间,即 R,Mmm, m,xm)=(R ,M(R), m2) 证明仍设,,m1和m2如定理8.由定理8 (RXR, B(R)XB(R), m,xm)=(R, 3(R), m2) 此即 (R×R,a(R),m1xm1)=(R2,O(R),m2 由§22定理15,(R×R,Mmm,m1xm1)和(R2,M(R2),m2)分别是 (R×R,a(),m1xm1)和(R2,(R,m2)的完备化空间因此(8)成立■ 推论10设∫是R2上的非负L可测函数或L可积函数则成立 「 R:/dxdy=dJdx=na 特别地当小1<+或者1<+∞时,成立 「ndn,fd=hh 我们将R2上的L积分记为「fdd) 证明将定理6和推论7应用到乘积空间(R×R, M,m1Xm1)上,并利用定 理9即得 显然,对R”与R的乘积空间RP的情形成立与推论10类似的结果 例2计算/=J sInx (e-e")dx(0<a<b) 解我们有 r dre 由于 dy e sin t∫de"= 由 Fubin定理(推论7),我们有 dxe dy= dy di tg b132 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 2 2 1 1 1 1 × = × R ∩ R × = ∩ ∈B R − − A B A B p A p B 故R ′ ⊂ ( ). 2 B R 于是 ( ) × 1 B R ( ) = 1 B R σ (R ′) ⊂ ( ). 2 B R 因此 ( ) × 1 B R ( ) = 1 B R ( ) 2 B R . 由乘积测度的定义容易知道在 R 上 . m1 × m1 = m2 由 2.2 定理 6 知道在σ (R ) 上 . m1 × m1 = m2 即在 ( ) 2 B R 上面 . m1 × m1 = m2 定理 9 两个一维 Lebesgue 测度空间的乘积测度空间是二维 Lebesgue 测度空间, 即 ( × , × , 1 × 1 ) = 1 1 m m Mmi mi R R ( , ( ), ). 2 2 2 R M R m (8) 证明 仍设R , R ′ , m1和m2如定理 8. 由定理 8, ( × , ( )× ( ), 1 × 1 ) = 1 1 1 1 R R B R B R m m ( , ( ), ). 2 2 2 R B R m 此即 ( × , ( ′), 1 × 1 ) = 1 1 R R σ R m m ( , ( ), ). 2 2 R σ R m 由 2.2 定 理 15, ( , , ) 1 1 1 1 m m mi mi R × R M × × 和 ( , ( ), ) 2 2 2 R M R m 分别是 ( , ( ), ) 1 1 1 1 R × R σ R ′ m × m 和( , ( ), ) 2 2 R σ R m 的完备化空间. 因此(8)成立. 推论 10 设 f 是 2 R 上的非负 L 可测函数或 L 可积函数.则成立 = ∫ 2 R f dxdy ∫ ∫ 1 1 R R dy f dx = . ∫ ∫ 1 1 R R dx f dy 特别地, 当 < +∞ ∫ ∫ 1 1 R R dy f dx 或者 < +∞ ∫ ∫ 1 1 R R dx f dy 时, 成立 ∫ ∫ 1 1 R R dy f dx = . ∫ ∫ 1 1 R R dx f dy (我们将 2 R 上的 L 积分记为 . 2 f dxdy ∫R ) 证明 将定理 6 和推论 7 应用到乘积空间( , , ) 1 1 1 1 m m mi mi R × R M × × 上, 并利用定 理 9 即得. 显然, 对 p R 与 q R 的乘积空间 p+q R 的情形,成立与推论 10 类似的结果. 例 2 计算 ( ) (0 ). sin 0 e e dx a b x x I ax bx = − < < ∫ +∞ − − 解 我们有 ( ) sin . sin ∫0 ∫ ∫ 0 +∞ − +∞ − − − = b a ax bx xy e e dx dx e xdy x x 由于 ln . 1 sin 0 0 ∫ ∫ ≤ ∫ ∫ = ∫ = < +∞ +∞ − +∞ − a b dy y dy e x dx dy e dx b a b a xy b a xy 由 Fubini 定理(推论 7), 我们有 arctg arctg . 1 1 sin sin 2 0 0 dy b a y I dx e xdy dy e xdx b a b a xy b a xy = − + = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫+∞ − +∞ −