《(数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 第二章数列极限 引言 为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个 变量，它开始是1，然后为}日一。.知此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变 化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零，我们就说，这个变量的极限为 0. 在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等）， 并且在实际问题中极限也占有重要的地位.例如求圆的面积和圆周长（己知：S=π2,1=2πr), 但这两个公式从何而来？ 要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度.然而， 要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破， 问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以 把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们 面临着“曲”与“直”这样一对矛盾. 在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼，辩证唯物主义认为，在一定条件下， 曲与直的矛盾可以相互转化.恩格斯深刻提出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在 一定的条件下直线和曲线应当是一回事”.整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直 的：就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧 执照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成个等长的小段，代替圆 而先考虑其内接正n边形.易知，正n边形周长为 L=2nRsn月 显然，这个1n不会等于1.然而，从几何直观上可以看出，只要正边形的边数不断增加.这 些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长N越大，近似程度越高。 但是，不论多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长.无论如何它只是周长的近似值 而不是精确值.问题并没有最后解决. 为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n无限地增大，记为n→∞.直观上很明显，当 n→o时，人→l,记成ml.=1.一一极限思想. 即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微（张晋）早在第3世纪就提出《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 1 第二章 数列极限 引言 为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个 变量，它开始是 1，然后为 1 1 1 1 , , , , , 234 n 如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变 化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们就说，这个变量的极限为 0. 在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等）， 并且在实际问题中极限也占有重要的地位.例如求圆的面积和圆周长（已知： 2 S r l r = =   , 2 ）， 但这两个公式从何而来？ 要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度.然而， 要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破. 问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以 把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们 面临着“曲”与“直”这样一对矛盾. 在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼，辩证唯物主义认为，在一定条件下， 曲与直的矛盾可以相互转化.恩格斯深刻提出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在 一定的条件下直线和曲线应当是一回事”.整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直 的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧. 执照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成 n 个等长的小段，代替圆 而先考虑其内接正 n 边形.易知，正 n 边形周长为 2 sin , n l nR n  = 显然，这个 n l 不会等于 l .然而，从几何直观上可以看出，只要正 n 边形的边数不断增加.这 些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长.N 越大，近似程度越高. 但是，不论 n 多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长.无论如何它只是周长的近似值， 而不是精确值.问题并没有最后解决. 为了从近似值过渡到精确值，我们自然让 n 无限地增大，记为 n →.直观上很明显，当 n → 时， n l l → ，记成 lim n n l l → = .——极限思想. 即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微（张晋）早在第 3 世纪就提出