定理15,17:FⅨ为域F上的多项式环,商环 Fx](p(x)是域,当且仅当p(x)为F区x]上的 不可约多项式。 证明:(1)商环Fx](p(x)是域证明p(x)为不 可约多项式 反证,若p(x)可约,则存在h(x),g(x)∈F(x),且 0<degh(x), degg(x<degp(X) 使得p(x)=h(x)g(x) 因此h(x)2g(x)(p(x),即 (p(x)+h(x)和(p(x)+g(x)都不是F[x/(p(x)的 零元但 (p(x))+h(x))((p(x))+gx))=(p(x))+h(xg(x) =(p(x)+p(x)=(p(x)为F[x](p(x)的零元 而F[×(p(x)是域无零因子▪ 定理15.17:F[x]为域F上的多项式环, 商环 F[x]/(p(x))是域, 当且仅当p(x)为F[x]上的 不可约多项式。 证明:(1)商环F[x]/(p(x))是域,证明p(x)为不 可约多项式 反证,若p(x)可约,则存在h(x), g(x)F(x), 且 0<degh(x),degg(x)<degp(x), 使得p(x)=h(x)*g(x) 因此h(x),g(x)(p(x)),即 (p(x))+h(x)和(p(x))+g(x)都不是F[x]/(p(x))的 零元.但 ((p(x))+h(x))((p(x))+g(x))=(p(x))+h(x)g(x) =(p(x))+p(x)=(p(x))为F[x]/(p(x))的零元 而F[x]/(p(x))是域,无零因子