(2)p(x)为Fx上的不可约多项式,证明 商环FXx](P(x)是域 首先可以知道FXx](P(x)是交换环且有单 位元(p(x)+1 关键是考虑Fx](p(x)中每个非零元是否 都存在逆元 对F[x](p(x)中任意非零元(p(x)+r(x),其 中degr(x)<degp(x) 利用p(x)不可约可得(p(x),r(x)=a∈F* 由定理159(2存在s(x),t(x)∈F(x使得 p(xs(x)+r(xt(x=a 因此(p(x)+a1t(x)是(p(x)+r(x)的逆元 推论154:z=z(p)为域当且仅当p为素数(2) p(x)为F[x]上的不可约多项式,证明 商环F[x]/(p(x))是域 首先可以知道F[x]/(p(x))是交换环.且有单 位元(p(x))+1. 关键是考虑F[x]/(p(x)) 中每个非零元是否 都存在逆元. 对F[x]/(p(x))中任意非零元(p(x))+r(x),其 中degr(x)<degp(x), 利用p(x)不可约,可得(p(x),r(x))=aF*. 由定理15.9(2),存在s(x),t(x)F(x),使得 p(x)s(x)+r(x)t(x)=a 因此(p(x))+a-1 t(x)是(p(x))+r(x)的逆元 ▪ 推论15.4:Zp=Z/(p)为域当且仅当p为素数