由a生成的理想: 有单位元的交换环,(a)={arr∈R} 无单位元的交换环,(a)={a*rnar∈R} 定理:设S≠,S∈R,定义(S)为满足如下条件的 最小子集: (1)a∈S,则a∈(S) (2)a,b∈(S,则a-b∈(S) (3)a∈(S),r∈R,则a*;r*a∈(S) 则[(S);+,是环[R;+,的理想。 定义:设S≠S∈R,S为满足上述定理条件的 最小子集,则称I(S);+,是环R;+,的由S生成 的理想
▪ 由a生成的理想： 有单位元的交换环，(a)={a*r|rR} 无单位元的交换环，(a)={a*r+na|rR} ▪ 定理：设S,SR,定义(S)为满足如下条件的 最小子集: ▪ (1)aS,则a(S) ▪ (2)a,b(S),则a-b(S) ▪ (3)a(S),rR,则a*r,r*a(S) ▪ 则[(S);+,*]是环[R;+,*]的理想。 ▪ 定义：设S,SR,(S)为满足上述定理条件的 最小子集,则称 [(S);+,*]是环[R;+,*]的由S生成 的理想
定义1514:环R中一个元素生成的理想 称为该环的主理想。如果一个环的所有 (真)理想是主理想,则称该环为主理想环 例:[Z;+,是主理想环。 分析:关键是证明对任意理想D都能找到 生成元 证明若D={0}成立 若D≠{0},则设法找生成元 取D中绝对值最小的非零元b, 证明b是D的生成元
▪ 定义15.14:由环R中一个元素生成的理想 称为该环的主理想。如果一个环的所有 (真)理想是主理想，则称该环为主理想环 ▪ 例：[Z;+,*]是主理想环。 ▪ 分析:关键是证明对任意理想D,都能找到 生成元. ▪ 证明:若D={0},成立. ▪ 若D{0},则设法找生成元. ▪ 取D中绝对值最小的非零元b, ▪ 证明b是D的生成元
定理15,13:域F上的多项式环Fx是主理 想环。 分析:与前面证明方法类似 证明若I={0}成立 对于I≠{0}的理想其生成元是什么呢? 对多项式则应取I中非零的、多项式次数 最小的p(x) 这样就要证明对任一理想可表示成 {p(x)f(x)|x)∈FKxl,p(x)为该理想中次数最 的} 需要利用定理158 定理158:对f(x)∈F|x,g(x)∈F|xl,g(x)≠0,存在唯 的q(x)r(x)∈FKxl,degr(x)<degg(x)或r(x)=0使得: f(x)=g(x)q(x)+r(x)
▪ 定理15.13：域F上的多项式环F[x]是主理 想环。 ▪ 分析:与前面证明方法类似. ▪ 证明:若I={0},成立 ▪ 对于I{0}的理想,其生成元是什么呢? ▪ 对多项式,则应取I中非零的、多项式次数 最小的p(x). ▪ 这样就要证明对任一理想,可表示成 ▪ {p(x)f(x)|f(x)F[x],p(x)为该理想中次数最 小的}. 需要利用定理15.8 定理15.8：对f(x)F[x],g(x)F[x], g(x)0,存在唯一 的q(x),r(x)F[x], degr(x)<degg(x)或r(x)=0,使得: f(x)=g(x)q(x)+r(x)
二、商环 设[;+,是环R;+,的理想 [;+为[R;+的正规子群, 在R中作的陪集Ir={iri∈I}o I+r=r+I 子群的性质知对任两元r≠r2,r1r2∈R,总 有Hr1=+r2,(r1)n(+r2)=④或 I+r =I+ 构造R的一个商集R={I+rr∈R}
▪ 二、商环 ▪ 设[I;+,*]是环[R;+,*]的理想， ▪ [I;+]为[R;+]的正规子群, ▪ 在R中作I的陪集I+r={i+r|iI}。 ▪ I+r=r+I ▪ 子群的性质知:对任两元r1r2 , r1 ,r2R,总 有|I+r1 |=|I+r2 |, (I+r1 )∩(I+r2 )=或 I+r1=I+r2 ▪ 构造R的一个商集:R/I={I+r|rR}
在R上定义为: (I+r1)(I+r2)=l+(r1+r2) 定义⑧为: (I+r1)8(I+r2)=l+(r1*r2) 定理1514如上述定义的R;⊕,为环 证明因为关于+是R的正规子群,因此 R:不仅是代数系统而且是群 又因为R;+是交换群故R/;也是交换 群 下面考察R⑧是否为代数系统半群 ⑧关于⊕是否满足分配律
▪ 在R/I上定义为: (I+r1 )(I+r2 )=I+(r1+r2 ) 定义为: (I+r1 )(I+r2 )=I+(r1*r2 ) ▪ 定理15.14:如上述定义的[R/I;,]为环 证明:因为I关于+是R的正规子群,因此 [R/I;]不仅是代数系统,而且是群. 又因为[R;+]是交换群,故[R/I;]也是交换 群. 下面考察[R/I;]是否为代数系统,半群 关于是否满足分配律
定义1515:设[;+,为环[R;+,的理想, 称[R:⑧为环R;+灯关于理想的商环 简记为R或R。 设[F〖x]:+,是域F上的多项式环 p(x)∈F(x),且degp(x)=n>0,则 (p(x)={p(x)*h(x)h(x)∈F(x是多项式 环的理想 FKx](p(x):,⑧是商环其零元(的单位 元)是(p(x)+0,其单位元是(p(x)+1,这里 0是F的零元,1是F[×]的单位元
▪ 定义15.15：设[I;+,*]为环[R;+,*]的理想, 称[R/I;,]为环[R;+,*]关于理想I的商环, 简记为R/I或R-I。 ▪ 设[F[x];+,*]是域F上的多项式环, p(x)F(x), 且degp(x)=n>0,则 (p(x))={p(x)*h(x)|h(x) F(x)}是多项式 环的理想. ▪ [F[x]/(p(x));,]是商环,其零元(的单位 元)是(p(x))+0, 其单位元是(p(x))+1,这里 0是F[x]的零元,1是F[x]的单位元
Fx(p(x)=()+∑ax2|a1∈Fi=1,…n
▪ F[x]/(p(x))= {(p(x)) a x | a F,i 1, n} i n 1 i 1 i + i = − =
[Z2[×;,是Z2上的多项式环。取p(x)= x2+x+1则zx](p(x)={p(x),(p(x)+1 (p(x)+x,(p(x)+(x+1)简化为{0,1,x,x+1} x+1 ⊕01x 001x X+1 0 x+1 x+1 0 x+1 X+1 x+1 01x 0000 0 0 x+1 x+1 x+1 X+1
▪ [Z2 [x];+,*]是Z2上的多项式环。取p(x)= x 2+x+1,则:Z2 [x]/(p(x))={(p(x)), (p(x))+1, (p(x))+x,(p(x))+(x+1)},简化为{0,1,x,x+1} 0 1 x x+1 0 0 1 x x+1 1 1 0 x+1 x x x x+1 0 1 x+1 x+1 x 1 0 0 1 x x+1 0 0 0 0 0 1 0 1 x x+1 x 0 x x+1 1 x+1 0 x+1 1 x
定理15,17:FⅨ为域F上的多项式环,商环 Fx](p(x)是域,当且仅当p(x)为F区x]上的 不可约多项式。 证明:(1)商环Fx](p(x)是域证明p(x)为不 可约多项式 反证,若p(x)可约,则存在h(x),g(x)∈F(x),且 0<degh(x), degg(x<degp(X) 使得p(x)=h(x)g(x) 因此h(x)2g(x)(p(x),即 (p(x)+h(x)和(p(x)+g(x)都不是F[x/(p(x)的 零元但 (p(x))+h(x))((p(x))+gx))=(p(x))+h(xg(x) =(p(x)+p(x)=(p(x)为F[x](p(x)的零元 而F[×(p(x)是域无零因子
▪ 定理15.17:F[x]为域F上的多项式环, 商环 F[x]/(p(x))是域, 当且仅当p(x)为F[x]上的 不可约多项式。 证明:(1)商环F[x]/(p(x))是域,证明p(x)为不 可约多项式 反证,若p(x)可约,则存在h(x), g(x)F(x), 且 0<degh(x),degg(x)<degp(x), 使得p(x)=h(x)*g(x) 因此h(x),g(x)(p(x)),即 (p(x))+h(x)和(p(x))+g(x)都不是F[x]/(p(x))的 零元.但 ((p(x))+h(x))((p(x))+g(x))=(p(x))+h(x)g(x) =(p(x))+p(x)=(p(x))为F[x]/(p(x))的零元 而F[x]/(p(x))是域,无零因子
(2)p(x)为Fx上的不可约多项式,证明 商环FXx](P(x)是域 首先可以知道FXx](P(x)是交换环且有单 位元(p(x)+1 关键是考虑Fx](p(x)中每个非零元是否 都存在逆元 对F[x](p(x)中任意非零元(p(x)+r(x),其 中degr(x)<degp(x) 利用p(x)不可约可得(p(x),r(x)=a∈F* 由定理159(2存在s(x),t(x)∈F(x使得 p(xs(x)+r(xt(x=a 因此(p(x)+a1t(x)是(p(x)+r(x)的逆元 推论154:z=z(p)为域当且仅当p为素数
(2) p(x)为F[x]上的不可约多项式,证明 商环F[x]/(p(x))是域 首先可以知道F[x]/(p(x))是交换环.且有单 位元(p(x))+1. 关键是考虑F[x]/(p(x)) 中每个非零元是否 都存在逆元. 对F[x]/(p(x))中任意非零元(p(x))+r(x),其 中degr(x)<degp(x), 利用p(x)不可约,可得(p(x),r(x))=aF*. 由定理15.9(2),存在s(x),t(x)F(x),使得 p(x)s(x)+r(x)t(x)=a 因此(p(x))+a-1 t(x)是(p(x))+r(x)的逆元 ▪ 推论15.4:Zp=Z/(p)为域当且仅当p为素数