复旦大学：《离散数学 Discrete Mathematics（下）》英文课件（赵一鸣）04/32

参考书 近世代数吴品三人民教育出版社 代数结构与组合数学曲婉玲北京大 学出版社 近世代数及其应用阮传概孙伟北京 邮电大学出版社

参考书 近世代数 吴品三 人民教育出版社 代数结构与组合数学 曲婉玲 北京大 学出版社 近世代数及其应用 阮传概 孙伟 北京 邮电大学出版社

、循环群 1.元素的阶 定义1410:设G为群,e是G的单位元,对 于a∈G,如果存在最小正整数r,使得a=e, 则称r为元素a的阶;也可称a是阶元。若 不存在这样的r,则称a为无限阶元或说a 的阶无猴

三、循环群 1.元素的阶 定义14.10:设G为群, e是G的单位元，对 于aG, 如果存在最小正整数r，使得a r=e， 则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若 不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a 的阶无限

元素a的阶有限的特征: 若元素a的阶有限,则存在ke∈Z(k≠D使 ak=al 如果a的任意两个幂都不相等,则元素a的 阶无限。 定理1412:G为群,a∈G,阶为n,则对 m∈Z,ame当且仅当nm 定理():若G是有限群,则G中的每个 元素的阶都是有限的

元素a的阶有限的特征： 若元素a的阶有限，则存在k,lZ(kl),使 a k=a l ， 如果a的任意两个幂都不相等, 则元素a的 阶无限。 定理14.12：G为群, aG, 阶为n, 则对 mZ, a m=e当且仅当n|m。 定理(一)：若G是有限群，则G中的每个 元素的阶都是有限的

例:在有限群G中,阶大于2的元素数目 必是偶数。 先证:G是群,对任意a∈G,当a的阶有 限时,a的阶与a1阶相同。 证明正整数p和q相等通常有两种方法 (1)p≤q,qsp,可推出p=q (2)若plq,qp,可推出p=q

例：在有限群G中，阶大于2的元素数目 必是偶数。 先证：G是群，对任意aG，当a的阶有 限时，a的阶与a -1阶相同。 证明正整数p和q相等,通常有两种方法: (1)pq, qp,可推出p=q (2)若p|q,q|p,可推出p=q

例:设群G的元素a的阶是n,则a的阶 是n/d。其中d=(r,n)为r和n的最大公因子 分析:要证a的阶是m/d,则要证: a n/d一 e

例：设群G的元素a的阶是n，则a r的阶 是n/d。其中d=(r,n)为r和n的最大公因子。 分析：要证a r的阶是n/d,则要证： (ar ) n/d =e

2循环群 定义14.11:群G,若有a∈G,对任g∈G,存在 k∈Z,使得g=a,就说群G可以由元素a生成,是 循环群;a为它的一个生成元。将它表示成 G=(a)。当G的阶有限时,称它为有限循环程 否则称为无限循环群。 例对于群{1,-1,-i};×,1=1,-1=12,-=译, 即1,-1,i,i都可以由表示,是循环群;是生成元。 类似地,1=(-1)0,-1=(i)2,=(-i)3,是生成元。 一个循环群可能有多个生成元。 此例中,4个元素,称为4阶循环群

2.循环群 定义14.11：群G,若有aG, 对任gG, 存在 kZ,使得 g=ak ,就说群G可以由元素a生成, 是 循环群;a为它的一个生成元。将它表示成 G=(a)。当 G的阶有限时, 称它为有限循环群; 否则称为无限循环群。 例:对于群[{1,-1,i.-i};],1=i0 ,-1=i2 ,-i=i3 , 即1,-1,i.-i都可以由i k表示,是循环群,i是生成元。 类似地，1=(-i)0 ,-1=(-i)2 ,i=(-i)3 ,-i是生成元。 一个循环群可能有多个生成元。 此例中，4个元素，称为4阶循环群

例:对于群[;+1对任意k∈Z,k=k1(即1 即1是生成元,[Z;+是无限循环群,同样 1也是生成元。 例:设有限群G;阶为n,若存在元素 g∈G,它的阶也是n,则G;是由g生成 的循环群。 例:若a是无限循环群[G;的生成元 则a的阶无限

例：对于群[Z;+],对任意kZ,k=k 1(即1 k ) 即1是生成元，[Z;+]是无限循环群，同样 -1也是生成元。 例：设有限群[G;*]阶为n，若存在元素 gG，它的阶也是n，则[G;*]是由g生成 的循环群。 例：若a是无限循环群[G;*]的生成元， 则a的阶无限

定理14.13:G为循环群,a为其一个生成元,则 G的结构完全由元素a的阶决定: (1)当a为无限阶时,G同构于加法循环群 Z;+]; (2)当a的阶为n时G同构于同余类加法循环 群[Zn;⊕]l。 证明:(1)G={ak∈,定义φ:G→Z cp(a)=k (2)G=e,4,x2,2),定义q:G→Zn, cp(ak)=lkI

定理14.13:G为循环群,a为其一个生成元,则 G的结构完全由元素a的阶决定: (1)当a为无限阶时,G同构于加法循环群 [Z;+]; (2)当a的阶为n时,G同构于同余类加法循环 群 [Zn ;]。 证明:(1)G={ak |kZ},定义:G→Z, (a k )=k (2)G={e,a,a 2 ,a n-1 },定义:G→Zn , (a k )=[k]

因为整数加法群与同余类加法群的构造 已完全弄清楚了,所以循环群的构造是完 全清楚的

因为整数加法群与同余类加法群的构造 已完全弄清楚了,所以循环群的构造是完 全清楚的

§3子群、正规子群与商群 、子群 定义1412:G:;]为群,HG且H≠,如果 H;也为群时,称它为G的子群。 必有这样的子群 G与{e},称为平子群 真子群

§3 子群、正规子群与商群 一、子群 定义14.12:[G;·]为群,HG且H,如果 [H;·]也为群时, 称它为G的子群。 必有这样的子群: G与{e}, 称为平凡子群; 真子群