Z3x](x2+1) 冷x2+1在23上不可约, 冷23[x(x2+1)为域 今Z3[(x2+1)={ax+ba,b∈Z3 共有9个元素 冷省略了(x2+1) 常以这种简化的方式写商域中的元素 各非零元素的逆。 多项式关于某个不可约多项式模的逆的 计算
❖ Z3 [x]/(x2+1) ❖ x 2+1在Z3上不可约, ❖ Z3 [x]/(x2+1)为域 ❖ Z3 [x]/(x2+1) ={ax+b|a,bZ3 } ❖ 共有9个元素 ❖ 省略了(x2+1)。 ❖ 常以这种简化的方式写商域中的元素 ❖ 各非零元素的逆。 ❖ 多项式关于某个不可约多项式模的逆的 计算
x8+x4+x3+x+1是z2上的不可约多项式。 冷22[×](x8+x4+x3+X+1)是域。 X6+X4+x2+x+1,x7+X+1∈Z2[×(x8+x4+x3+x+1) 冷(x6+X4+x2+x+1)(x7+x+1)mod(x8+x4+x3+x+1) =x7+X6+1 (x6+X4+x2+x+1)∈Z2[×](x8+x4+x3+X+1) 其逆元是x7+x5+x4+x3+x2+x+1 冷方法:利用1=s(×)f(x)+(x)g(x) 即1=s(x)(X6+X4+x2+X+1)+t(x)(x8+x4+x3+x+1) 冷实质是求s(x) 利用辗转相除法
❖ x 8+x4+x3+x+1是Z2上的不可约多项式。 ❖ Z2 [x]/(x8+x4+x3+x+1)是域。 ❖ x 6+x4+x2+x+1,x7+x+1Z2 [x]/(x8+x4+x3+x+1) ❖ (x6+x4+x2+x+1)•(x7+x+1)mod(x8+x4+x3+x+1) =x7+x6+1 ❖ (x6+x4+x2+x+1)Z2 [x]/(x8+x4+x3+x+1) ❖ 其逆元是x 7+x5+x4+x3+x2+x+1 ❖ 方法：利用1=s(x)f(x)+t(x)g(x) ❖ 即1=s(x)(x6+x4+x2+x+1)+t(x)(x8+x4+x3+x+1) ❖ 实质是求s(x) ❖ 利用辗转相除法
x3+x4+x3+x+1=(x2+1)(x°+x4+x2+x+1)+x4 冷x5+x4+x2+x+1=(x2+1)x4+x2+x+1 冷x4=(x2+x)(x2+x+1)+x 冷x2+x+1=(X+1)x+1 冷故1=(x2+x+1)-X+1)x (x2+x+1)-(x+1)(x4-(x2+x)(x2+x+1) 冷=(1+(X+1)(x2+x)(x2+x+1)+(X+1)x4 =(1+(x+1)(x2+x)(X6+x4+x2+x+1)-(x2+1)x4)+(x+1)x 冷=(x3+x+1)(x+x4+x2+x+1)+(x3+x+1)(x2+1)+(x+1)x4 冷=(x3+x+1)(x+x4+x2+x+1)+(x5+x2)(x3+x4+x3+x+1) (x2+1)(x6+x4+x2+x+1) (X3+x+1)+(x5+×2(x2+1)(x+x4+x2+x+1)+ (x+x2)(x3+x4+x3+x+1) =(x7+x5+x4+x3+x2+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+ x5+x2)(x3+x4+x3+x+1) 所以x6+x4+x2+x+1关于模x8+x4x3+x+1的逆元是: 令X7+X5+X4+X3+X2+X+1
❖ x 8+x4+x3+x+1=(x 2+1)(x6+x4+x2+x+1)+x 4 ❖ x 6+x4+x2+x+1=(x2+1)x4+x2+x+1 ❖ x 4=(x2+x)(x2+x+1)+x ❖ x 2+x+1=(x+1)x+1 ❖ 故1=(x2+x+1)-(x+1)x ❖ =(x2+x+1)-(x+1)(x4 -(x2+x)(x2+x+1)) ❖ =(1+(x+1)(x2+x))(x2+x+1)+(x+1)x4 ❖ =(1+(x+1)(x2+x))((x6+x4+x2+x+1)-(x2+1)x4 ) +(x+1)x4 ❖ =(x3+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+((x3+x+1)(x2+1) +(x+1))x4 ❖ =(x3+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+(x5+x2 )((x8+x4+x3+x+1)- (x2+1)(x6+x4+x2+x+1)) ❖ =((x3+x+1)+(x5+x2 )(x2+1))(x6+x4+x2+x+1)+ (x5+x2 )(x8+x4+x3+x+1) ❖ =(x7+x5+x4+x3+x2+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+ (x5+x2 )(x8+x4+x3+x+1) ❖ 所以x 6+x4+x2+x+1关于模x 8+x4+x3+x+1的逆元是： ❖ x 7+x5+x4+x3+x2+x+1
冷定理1518:R为有单位元交换环,且R≠{0}, 则R为域当且仅当R只有平凡理想{0}与R 冷证明:(1)R是域若R存在非平凡理想I 则存在a∈I,a≠0 因为R是域所以存在a的逆元an1∈R 因为是理想所以有aa=1∈I 因此对任意r∈R有r*1∈I, 今R= 冷(2)R只有平凡理想{0}与R, 对R的任一非零元a,证明存在逆元
❖ 定理15.18:R为有单位元交换环,且R{0}, 则R为域当且仅当R只有平凡理想{0}与R ❖ 证明:(1)R是域.若R存在非平凡理想I, ❖ 则存在aI,a0. ❖ 因为R是域,所以存在a的逆元a -1R. ❖ 因为I是理想,所以有aa-1=1I ❖ 因此对任意rR,有r*1I, ❖ R=I ❖ (2)R只有平凡理想{0}与R, ❖ 对R的任一非零元a,证明存在逆元
三、环同态基本定理 冷定义1516:设p是环[R;+到环S;+,* 的同态映射,0为S中的加法单位元,定义 集合K(p)={x∈R|p(x)=0}称为同态下的 核,或简称同态核Kerφ。 冷定理1515:如果φ是环[R;+到环[s;+ 的同态映射,K(q)为其核,则K(q)是R的 理想p(R);+,是[s;+,的子环。 冷证明:(1)K(q)是R的理想 (2)q(R是S的子环
❖三、环同态基本定理 ❖ 定义15.16:设是环[R;+,*]到环[S;+',*'] 的同态映射,0'为S中的加法单位元,定义 集合K()={xR|(x)=0'},称为同态下的 核,或简称同态核Ker。 ❖ 定理15.15:如果是环[R;+,*]到环[S;+',*'] 的同态映射, K()为其核, 则K()是R的 理想,[(R);+',*']是[S;+',*']的子环。 ❖ 证明:(1) K()是R的理想 ❖ (2) (R)是S的子环
冷定理15.16(环同态基本定理):如果q为环 R到环S的同态映射,K=Kerq,则R/K同构 于φ(R)。当q是满同态时,则RK同构于S。 冷证明:1构造R/K到p(R的表达式 令(1(K+r)=p(r) 冷(2)验证这是映射,并且是同态的 冷2证明是双射
❖ 定理15.16(环同态基本定理)：如果为环 R到环S的同态映射,K=Ker,则R/K同构 于(R)。当是满同态时，则R/K同构于S。 ❖ 证明：1.构造R/K到(R)的表达式 ❖ (1)f(K+r)=(r) ❖ (2)验证这是映射，并且是同态的 ❖ 2.证明f是双射
例:证明Rx/x2+1≥C,这里的R为实数 域 证明:用环同态基本定理。 冷作φ:R[x]-→>C,(敢(x)=1)∈C,其中=-1 这是一个环同态映射,且为满射 其中K(q)={(x)∈R[x](=0}。 根据实系数多项式的复根共轭原理知-i也 是K(q)中多项式的根,这样K(q)中多项式 皆有因式x2+1,即K(q)=(x2+1) 冷由同态基本定理知R[x/k(0)(2+=C
❖ 例：证明R[x]/(x2+1)C, 这里的R为实数 域 ❖ 证明：用环同态基本定理。 ❖ 作:R[x]→C, (f(x))=f(i)C,其中i 2=-1。 这是一个环同态映射, 且为满射。 ❖ 其中K()={f(x)R[x]|f(i)=0}。 ❖ 根据实系数多项式的复根共轭原理知-i也 是K()中多项式的根, 这样K()中多项式 皆有因式x 2+1, 即K()=(x2+1)。 ❖ 由同态基本定理知R[x]/K()=(x2+1)C
第十六章域 方程x2-2=0 有理数域内无解 扩充到实数域中则有解。 域扩张
第十六章 域 ❖ 方程x 2 -2=0 ❖ 有理数域内无解 ❖ 扩充到实数域中则有解。 ❖ 域扩张
§1扩域 令一、扩域 1.扩域 冷定义16.1:当[F;+,是域,FFF≠,F按F中 的运算也是域时称[F;+,是[;+,的子线 也称F为F的扩又称F是域F的一个扩张
§1 扩域 ❖ 一、扩域 ❖ 1. 扩域 ❖ 定义16.1：当[F;+,*]是域,F‘F,F’,F'按F中 的运算也是域时,称[F';+,*]是[F;+, *]的子域; 也称F为F'的扩域;又称F是域F'的一个扩张
冷[Q;+,×是实数域[R;+,×]的子域 R是Q的扩域, 同理,复数域C是实数域的扩张,也是有 理数域的扩张 冷[Z;+×]是Q的子环不是Q的子域
❖ [Q;+,]是实数域[R;+,]的子域, ❖ R是Q的扩域, ❖ 同理,复数域C 是实数域的扩张, 也是有 理数域的扩张 ❖ [Z;+,]是Q的子环, 不是Q的子域