下周起,代数结构与数理逻辑课程 上课教室改在2108教室
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二、环同态 定义15.9:对于环[R;+,*与环[R';+,*, 若存在映射φ:R-R,使得对任r1,r2∈R有: r,tr φ(r1*r2)=p(r+y*p(r2),则称q为R到R的 问迹射当q(R=R称两个环同态当φ 为一一对应时两个环构当R'R时称R 到R的同态为自同态同构为自同构
二、环同态 定义15.9：对于环[R;+,*]与环[R';+',*'], 若存在映射:R→R' ，使得对任r1,r2R有: (r1+r2)= (r1)+'(r2), (r1*r2)=(r1 )*'(r2 ), 则称为R到R'的 同态映射;当(R)=R'称两个环同态;当 为一一对应时两个环同构;当R'R时称R 到R'的同态为自同态,同构为自同构
■定理15.6:设环[R;+,*]与环[R;+,*]有同 态映射q,则: (1)(0)=0,0为R之加法单位元,0为R'之加 法单位元。 (2)如果R和R均为有单位元环,且e,e'分别为 其单位元,则当p是满同态,或者R无零因子 且q不是零同态,则φ(e)=e'。其中零同态是 指所有元素在q下的象都是0。 (3)q(R)cR必为R的子环。 请考虑(2)中若把一些条件去掉后结论不成 立的例子
定理15.6：设环[R;+,*]与环[R';+',*']有同 态映射, 则: (1)(0)=0',0为R之加法单位元, 0'为R'之加 法单位元。 (2)如果R和R'均为有单位元环, 且e,e'分别为 其单位元,则当是满同态,或者R'无零因子 且不是零同态,则(e)=e' 。其中零同态是 指所有元素在下的象都是0' 。 (3)(R)R'必为R'的子环。 请考虑(2)中若把一些条件去掉后,结论不成 立的例子
推论15.1:若两个环R与R同构RR,则R为 整环时,R'也为整环;R为除环时R也是除 环;R为域时R也为域 ■推论15.1的结论不能拓广到两个环同态的 情况。 例如对于整数环Z和同余类环Zm,可以构造 满同态映射φ,使得φ(x)=[x∈Zm。我们知 道,Z是整环但不是域,而当m是素数时, zm是域,当m不是素数时,乙m不是域,也 不是整环。即两个同态的环Z和乙n性质并不 相同
推论15.1:若两个环R与R'同构,R≌R',则R为 整环时, R'也为整环；R为除环时R’也是除 环；R为域时R'也为域。 推论15.1的结论不能拓广到两个环同态的 情况。 例如对于整数环Z和同余类环Zm，可以构造 满同态映射，使得(x)=[x]Zm。我们知 道，Z是整环但不是域，而当m是素数时， Zm是域，当m不是素数时，Zm不是域，也 不是整环。即两个同态的环Z和Zm性质并不 相同
定理157:设有整环R,char(R=p,作映射 φR-R,对任a∈R,φ(a)=a?是R的一个自同态映 射且a≠b时o(a)≠q(b) 证明:同态映射要求对任a,b∈R有:p(a+b)=p(a) φ(b),q(a*b)=o(a)*(b) φ(a*b)=(a米b)ap*bp=q(a)*p(b 因为在交换环中,二项式定理成立 因此在(a+b)展开式中,其系数为C(p,i), 故除C(p,0)=C(p,p)=1外,C(,i)含有因子p. 而对任意a∈R,有pa=0 因此p(ab)=(a+b)=ap+byq(a)(b)
定 理 1 5 . 7 ： 设 有 整 环 R,char(R)=p, 作映射 :R→R,对任aR,(a)=ap是R的一个自同态映 射且ab 时(a)(b)。 证明:同态映射要求对任a,bR有:(a+b)=(a) +(b),(a*b)=(a)*(b). (a*b)=(a*b)p=ap*bp=(a)*(b). 因为在交换环中,二项式定理成立. 因此在(a+b)p的展开式中,其系数为C(p,i), 故除C(p,0)=C(p,p)=1外,C(p,i)含有因子p. 而对任意aR,有pa=0 因此(a+b)=(a+b)p=ap+bp=(a)+(b)
下面证明a≠b时o(a)≠q(b) n即证若o(a)=q(b),即ab时,必有a=b 同样我们有(a-b)=(a+(-b))p=ap+(-b)P, 因为R是整环,p为特征数,因此由定理15.5,p为素数 (定理15.5:设p为有单位元环R的特征数,则:(1)任a∈R,有 pa=0,而且,当R是整环时,对任何a≠0,p是使pa=0的最小非 零正整数.(2)当R为整环时,其特征数或为素数或为0) ■因此除了p=2这种情况外,p是奇数 若p=2,由定理15.5知,0=2x=x+x,因此有 (-b)2=b2=-b2 即(a-b)2=a2-b2 若p为奇数,则(a-b)p=ap+(-b)p=ap-b 所以0=a)-(b)=apb=(a-b)P, 又因为是整环,无零因子,故a-b=0,即a=b
下面证明ab 时(a)(b)。 即证若(a)=(b),即a p=bp时,必有a=b. 同样我们有(a-b)p=(a+(-b))p=ap+(-b)p , 因为R是整环,p为特征数,因此由定理15.5,p为素数. (定理15.5：设p为有单位元环R的特征数, 则: (1)任aR,有 pa=0，而且，当R是整环时，对任何a0,p是使pa=0的最小非 零正整数.(2)当R为整环时,其特征数或为素数或为0) 因此除了p=2这种情况外,p是奇数. 若p=2,由定理15.5知,0=2x=x+x,因此有 (-b)2=b 2=-b 2 , 即(a-b)2=a2-b 2 若p为奇数,则(a-b)p=ap+(-b)p=ap-b p 所以0=(a)-(b)=a p-b p=(a-b)p , 又因为是整环,无零因子,故a-b=0,即a=b
§3多项式环 在习题15.3(5)的中,已知可以类似于在 实数域上定义多项式一样,在域F上定义 多项式 Fx/={∑ax1|0≤i≤n1∈F Fx]关于多项式的乘法与加法构成整环, 且称FKx为域上的多项式环。 所谓关于多项式的乘法与加法:系数按域F 上的第一个运算(加法)和第二个运算乘法) 进行相应运算
§3 多项式环 在习题15.3(5)的中，已知可以类似于在 实数域上定义多项式一样，在域F上定义 多项式 F[x] { a x | 0 i n,a F} i n i 0 i = i = • F[x]关于多项式的乘法与加法构成整环, 且称F[x]为域上的多项式环。 所谓关于多项式的乘法与加法:系数按域F 上的第一个运算(加法)和第二个运算(乘法) 进行相应运算
n下面我们将证明有关多项式环的一些性 质。为此引进记号degf(x),它表示F|x中 的多项式敢x)的次数 定理158:对fx)∈Fx,g(x)∈Fx],g(x)≠0, 存在唯 的q(x),r(x)∈F|x degr(x<deggx x)或r(x)=0,使得 f(x)=g(x)q(x+r(x) 证明:(1)存在性 关键是找r(x)和q(x) 必须考虑的是fx)和g(x的次数
下面我们将证明有关多项式环的一些性 质。为此引进记号degf(x),它表示F[x]中 的多项式 f(x)的次数。 定理15.8：对f(x)F[x],g(x)F[x], g(x)0, 存 在 唯 一 的 q(x),r(x)F[x], degr(x)<degg(x)或r(x)=0,使得: f(x)=g(x)q(x)+r(x)。 证明：(1)存在性 关键是找r(x)和q(x). 必须考虑的是f(x)和g(x)的次数
当deg(x)<degg(x)时, 取q(x)=0,r(x)=f(x)即可 当degr(x)≥deg(x)时, 对degf(x)作归纳证明 (2)唯一性 假设还有q(x)r(x)∈F[X] 其中0≤degr(x)<degg(x) 由此导出q(x)=q(x),r(x)=r(x)
当degf(x)<degg(x)时, 取q(x)=0,r(x)=f(x)即可. 当degf(x)degg(x)时, 对degf(x)作归纳证明. (2)唯一性 假设还有q'(x),r'(x)F[x], 其中0degr'(x)<degg(x) 由此导出q(x)=q'(x),r(x)=r'(x)
当f(x)=g(x)q(x)+r(x)中的r(x)=0时,称x) 可被g(x)整除记为g(x)(x),称g(x)为f(x)的 个因子,q(x)为商;r(x)≠0时称q(x)为不 完全商而r(x)为余式。 推论152:f(x),(x-a)∈F|x,则f(x)被(x-a)除 的余式为f(a) 证明:由定理158知,存在q(x),r(x)∈F|x, degr(x)<deg(x-a)=1或r(x)=0使得: f(x)=g(x)(x-a)+r(x)
当f(x)=g(x)q(x)+r(x)中的r(x)=0时, 称f(x) 可被g(x)整除,记为g(x)|f(x),称g(x)为f(x)的 一个因子,q(x)为商;r(x)0时,称q(x)为不 完全商,而r(x)为余式。 推论15.2:f(x), (x-a)F[x],则f(x)被(x-a)除 的余式为f(a)。 证明:由定理1 5 . 8知,存在q(x),r(x)F[x], degr(x)<deg(x-a)=1或r(x)=0,使得: f(x)=g(x)(x-a)+r(x)