§2代数元与根域 代数元与超越元 1.代数元与超越元 定义165:K为域F的扩域,∈K如果有 x)∈F[]使得/(x)=0,则称a为域F的代数 元否则就是F的超越元。 所谓代数元实际上就是域上某个多项式 的根 例:5,√3,17+3都是有理数域上的代
§2 代数元与根域 ▪ 一、代数元与超越元 ▪ 1.代数元与超越元 ▪ 定义16.5：K为域F的扩域,K,如果有 f(x)F[x]使得f()=0,则称为域F的代数 元,否则就是F的超越元。 ▪ 所谓代数元实际上就是域上某个多项式 的根 例:5, 3,i, 7 3都是有理数域上的代数元 . n +
例:√2+√5是否为有理数域上 的代数元? 例:cos-π是否为有理数域 的代数元?
的代数元? 例: 3 2 + 5是否为有理数域上 的代数元? 例: π 是否为有理数域上 5 2 cos
2极小多项式 定义166:是域F的一个代数元,p(x)∈ Fx],称它为在F上的极小多项式如果 p(x)之首项系数为1,且它是F[×中以a为 根的多项式中次数最低的。 定理166:0为F之代数元p(x)为其在F上 的极小多项式,则 (1)p(x)不可约。 (2)若fx)∈Fx],f(a)=0则p(x)f(x) (3)p(x)是唯一的
▪ 2.极小多项式 ▪ 定义16.6:是域F的一个代数元,p(x) F[x],称它为在F上的极小多项式,如果 p(x)之首项系数为1,且它是F[x]中以为 根的多项式中次数最低的。 ▪ 定理16.6:为F之代数元,p(x)为其在F上 的极小多项式, 则: ▪ (1)p(x)不可约。 ▪ (2)若f(x)F[x],f()=0则p(x)|f(x)。 ▪ (3)p(x)是唯一的
证明:(1)p(x)不可约设p(x)≠0,degp(x)≥1 若degp(x)=1p(x)当然不可约 对于degp(x)>1,若p(x)可约, 则存在g(x),q(x)∈F(x),使得p(x)=g(x)q(x) E1sdegg(x), dega(x<degp(x) 0=p(a)=g(o)q(a) F(a)是域无零因子, 因此或者ga)=0,或者q(a)=0 与p(x)为极小多项式矛盾
▪ 证明: (1)p(x)不可约.设p(x)0,degp(x)1. ▪ 若degp(x)=1,p(x)当然不可约. ▪ 对于degp(x)>1,若p(x)可约, ▪ 则存在g(x),q(x)F(x),使得p(x)=g(x)q(x) ▪ 且1≤degg(x),degq(x)<degp(x) ▪ 0=p()=g()q(). ▪ F()是域,无零因子, ▪ 因此或者g()=0,或者q()=0. ▪ 与p(x)为极小多项式矛盾
(2)若(x)∈Fx,f〔c)=0则p(x)f(x) 因为x)=p(x)q(x)+r(x) q(x),r(x)∈F(x),r(x)=0或者degr(x)degp(x) 由fa)=0,得r(a)=0 根据极小多项式定义,有r(x)=0,即p(x)f(x) (3)p(x)是唯一的 若存在a的另一极小多项式p1(x) 则p(x)p(x),P(x)p(x) 由定理1510知p(x)=ap1(x),a∈F, 极小多项式首项系数为1 因此a=1,即p(x)=p1(x)
▪ (2)若f(x)F[x],f()=0则p(x)|f(x)。 ▪ 因为f(x)=p(x)q(x)+r(x), ▪ q(x),r(x)F(x),r(x)=0或者degr(x)<degp(x) ▪ 由f()=0,得r()=0 ▪ 根据极小多项式定义,有r(x)=0,即p(x)|f(x) ▪ (3)p(x)是唯一的 ▪ 若存在的另一极小多项式p1 (x) ▪ 则p(x)|p1 (x), p1 (x)|p(x) ▪ 由定理15.10知p(x)=ap1 (x),aF* , ▪ 极小多项式 首项系数为1, ▪ 因此a=1,即p(x)=p1 (x)
ap(x)∈Fx首项系数为1,在F上不可约且 p(x)=0,p(x)是否为c的极小多项式? 设a的极小多项式为px) 证明p(x)=p1(x) 推论162:p(x)∈F[灯]首项系数为1,在F 上不可约又有p(x)=0,则p(x)为在域F 上的极小多项式
▪ p(x)F[x],首项系数为1,在F上不可约,且 p()=0,p(x)是否为的极小多项式？ ▪ 设的极小多项式为p1 (x). ▪ 证明p(x)=p1 (x) ▪ 推论16.2：p(x)F[x],首项系数为1,在F 上不可约,又有 p()=0,则p(x)为在域F 上的极小多项式
二、代数扩域 定义167:当域F的扩域K中每个元素 都是F的代数元时称K为F的代数扩域。 当α1…,cxn.为域F上的代数元时记 F(x1…,an)为包含F和a1…,n的最h 代数扩域当n=时又称它为F的单代数 扩城
▪ 二、代数扩域 ▪ 定义16.7：当域F的扩域K中每个元素 都是F的代数元时,称K为F的代数扩域。 当1 ,…, n为域F上的代数元时,记 F(1 ,…, n )为包含F和1 ,…, n的最小 代数扩域,当n=1时,又称它为F的单代数 扩域
定理167:已知a为域F上的代数元p(x)∈Fx] 为α在F上的极小多项式degp(x)=n>1,贝 (FaeFlx/(p(x)) n(2)F(x)中的元素可唯一表示为 a+a10+,+an10n1,其中a∈F0≤n1 证明:(1)利用环同态基本定理 构造F]到F(a)的映射:o(f(x)=f(a) 证明q是同态映射 证明Kerq=(p(x) 域上的多项式环都是主理想环 证明φ(F[Xx])=F(a)
▪ 定理16.7:已知为域F上的代数元,p(x)F[x] 为在F上的极小多项式,degp(x)=n>1,则: ▪ (1)F()≌F[x]/(p(x))。 ▪ (2)F()中的元素可唯一表示为 a0+a1+…+an-1n-1 ,其中aiF,0≤i≤n-1。 ▪ 证明:(1)利用环同态基本定理. ▪ 构造F[x]到F()的映射:(f (x))=f () ▪ 证明是同态映射. ▪ 证明Ker=(p(x)) ▪ 域上的多项式环都是主理想环 ▪ 证明(F[x])=F()
推论163:在定理167中当degp(x)=n时 Fa: FIno
▪ 推论16.3：在定理16.7中当degp(x)=n时 [F():F]=n
作业:P3378,9,11
▪作业：P337 8,9,11