测验: 2设~是群G上的等价关系,并且对于G的任 意三个元素a,x,x,若ax~ax则必有x~x 证明:与G中单位元等价的元素全体构成G 的一个子群。 H={xK∈G并且x~e} 对任意的x∈H,x~e,xe~e=xx 对任意的x,y∈H,x~e,y~e,ey~e, x xyX X
测验： 2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任 意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。 证明：与G中单位元等价的元素全体构成G 的一个子群。 H={x|xG,并且xe} 对任意的xH， xe, xee=xx-1 对任意的x,yH， xe, ye, eye, x -1xyx -1x
§4群的同态与同态基本定理 一、群同态 设有两个代数系统[S;与[;]如果存在 到上映射φ:S冮T使得对任意的ab∈S, 有:φ(ab)=p(a)p(b),称[S;与[T;]两 个系统同态。如果φ是双射,则[S;与 T;l构
§4 群的同态与同态基本定理 一、群同态 设有两个代数系统[S;*]与[T;•], 如果存在 到上映射:S→T,使得对任意的a,bS, 有:(a*b)=(a)•(b)，称[S;*]与[T;•]两 个系统同态。如果是双射,则[S;*]与 [T;•]同构
例1421( Cayley凯定理:任一有限群 必同构于一个同阶的置换群。 证明设G;为有限群 若[G;·是置换群,则[G;°]与自己当然同构 下面考虑[G;不是置换群,那么就应构造与 G;·]有一定联系的置换群使得它们同构 对任意g∈G定义映射G→>G使得对任意 g∈G有o)=gg。设2={oglg∈G 则由例1413知[;是置换群 下面证明G与[同构 构造G→Σ的同构映射:qg)=g
例14.21(Cayley(凯莱)定理)：任一有限群 必同构于一个同阶的置换群。 证明:设[G;•]为有限群. 若[G;•]是置换群, 则[G;•]与自己当然同构. 下面考虑[G;•]不是置换群,那么就应构造与 [G;•]有一定联系的置换群,使得它们同构. 对任意gG,定义映射g :G→G,使得对任意 g'G,有g (g') =g•g' 。设={g |gG} 则由例14.13知[;]是置换群。 下面证明G与[;]同构 构造G→的同构映射:(g)=g
二、群同态基本定理 1.同东核与同象 在群G中,a,b∈G,若ab=a,则b=e(单位元) ab=a=ae,由消去律可得b=e 引理:[G;*和【G;为群,q为G→)G的同态 映射(不一定满射),设e是[G;的单位元,则 q(e)一定是[G;的单位元 证明因为o(G)≠,设xep(G)G 存在a∈G使得x=q(a) 因为xop(e)=X=xee 利用群满足消去律即得q(e)=ec 该结论对不是群的代数系统不一定成立
二、群同态基本定理 1.同态核与同态象 在群G中，a,bG,若ab=a，则b=e(单位元) ab=a=ae，由消去律可得b=e。 引理：[G;*]和[G‘;•]为群, 为G→G’的同态 映射(不一定满射),设e是[G;*]的单位元,则 (e)一定是[G';•]的单位元. 证明:因为(G),设x(G)G' , 存在aG,使得x=(a) 因为x•(e)=x=x•eG' , 利用群满足消去律即得(e)=eG' . 该结论对不是群的代数系统不一定成立
定义1418:为群G→G的同态映射,e,e 分别为GG之单位元。集合K={x∈G q(x)=e"}称K为同态映射q的核又称同态 核记为Kerq,简记为K(qp)。 K≠,这是因为q(e)=e,即eeK. 例:[R{0}和[{1,1;为为群 1x>0 P(x) 0 Kerq={xx>0,x∈R} 故{1,}的单位元1源不止一个。Ke是所有 -1,1}的单位元的额全体所成的集合
定义14.18: 为群G→G'的同态映射,e,e' 分别为G,G'之单位元。集合K={xG| (x)=e'},称K为同态映射的核,又称同态 核, 记为Ker, 简记为K()。 K,这是因为(e)=e',即eK. 例:[R-{0};*]和[{-1,1};*]为群 − = 1 0 1 0 ( ) x x x Ker ={x | x 0, xR} { 1,1}的单位元的象源全体所成的集合 故 { 1,1}的单位元1的象源不止一个。Ker是所有 − −
定理:q为群G;*]→[G;·]的同态映射,则 (1)Ker;*]为[G;*]的正规子群。 (2)p为一对一当且仅当K={e} (3)[o(G);·]为[G';·]的子群。 证明:(1)先证明Kerp是子群 封闭对任意ab∈Kerp,有a*b?∈Kerq 即证φ(a*b)=?eG 逆元:对任意a∈Kerq,它在G中的逆元a1∈? Kero 然后证明对任意g∈Ga∈Kerp有 g1*a*g?∈Ker
定理：为群[G;*]→[G';•]的同态映射,则 (1)[Ker; *]为[G;*]的正规子群。 (2)为一对一当且仅当K={eG} (3)[(G); •]为[G';•]的子群。 证明:(1)先证明Ker是子群 封闭:对任意a,bKer,有a*b?Ker, 即证(a*b)=?eG' 逆元:对任意aKer,它在G中的逆元,a-1? Ker 然后证明对任意gG,aKer有 g-1*a*g?Ker
2.群问态基本定理 定理1419:群G;同态于它的任 商群|G/H;]。 证明构造映射f:G→G/H,(g=Hg 然后证明是满同态映射 自然同态
2.群同态基本定理 定理14.19：群[G;*]同态于它的任 一商群[G/H;]。 证明:构造映射f:G→G/H, f(g)=Hg 然后证明f是满同态映射. 自然同态
定理1420:设p为群[G;*到群G;同 态映射K为同态核,φ(G)≤G为G在φ下的 象集,则:G/K;p(G); 证明:对任意的Ka∈G/K,定义 f(Ka=op(a) n(1)是G/K→p(G的映射。 关键是对于Ka=Kb是否有ga)=p(b) (2)是同态映射 对任意的Ka,Kb∈G/K,是否有 f(KacKb)f(Kao(Kb)
定理14.20：设为群[G;*]到群[G';•]的同 态映射,K为同态核, (G)G'为G在下的 象集,则:[G/K;][(G);•] 证明：对任意的KaG/K，定义 f(Ka)=(a) (1)f是G/K→(G)的映射。 关键是对于Ka=Kb,是否有(a)=(b) (2)f是同态映射。 对任意的Ka,KbG/K,是否有 f(KaKb)=f(Ka)•f(Kb)
(3)是一一对应映射 对-:即证若有Ka)=f(Kb必有 Ka=kb 就是要证明*b∈K, 也就是(a*b-)=ece 满射: 推论:若q为群G;到群G;的满同 态映射则:G/K;G';
(3) f是一一对应映射。 一对一 :即证若有f(Ka)=f(Kb),必有 Ka=Kb. 就是要证明a*b-1K, 也就是(a*b-1 )=eG' 满射: 推论：若为群[G;*]到群[G';•]的满同 态映射,则: [G/K;][G';•]
例:R;+是实数加法群Z;+是整数加法 群并且是[R;+的正规子群。 w=e0∈R},为普通乘法群,则 IR/;⊕]cW; 分析应先构造R→W的满同态映射q 然后证明Ker=Z 定义q(x)=e2n Kero=x](x)=1-Z
例:[R;+]是实数加法群,[Z;+]是整数加法 群,并且是[R;+]的正规子群。 W={ei |R},*为普通乘法群，则 [R/Z;][W;*]。 分析:应先构造R→W的满同态映射 然后证明Ker=Z 定义(x)=e2ix Ker={x|(x)=1}=Z