复旦大学：《离散数学 Discrete Mathematics（下）》英文课件（赵一鸣）08/32

S;“是一个代数系统,为定义在S上的二元 运算,若满足: (1)对任意的a,b,c∈S有a(bc)=(ab)c(结合 律) (2)存在e∈eS,使ae=ea=a(单位元) (3)对任意的a∈S,存在1∈S使得 a*a=aa-e 则称|S;为群

[S;*]是一个代数系统, *为定义在S上的二元 运算,若满足: (1)对任意的a,b,cS有a*(b*c)=(a*b)*c(结合 律); (2)存在eS,使a*e=e*a=a(单位元); (3)对任意的aS,存在a -1S,使得 a*a -1=a-1*a=e 则称 [S;*]为群

第十五章环 环的英文为Ring,用Ring的起始字 母R表示环即今后出现的R表示环, 除非特别说明,R不再表示实数集

第十五章 环 环的英文为Ring，用Ring的起始字 母R表示环,即今后出现的R表示环, 除非特别说明，R不再表示实数集

§1环的定义与性质 一、环的定义 代数系统[R;+,,其中+和*为定义在R上 的二元运算满足下述条件, (1)R;+为Abel群 (2)R;1为半群 (3)*满足分配律: a2(b+e=(a2b)+(a2C), (b+c)*a=(ba)+(C2a) 则称R;+,为环

❖一、环的定义 ❖ 代数系统[R;+,*],其中+和*为定义在R上 的二元运算,满足下述条件, (1)[R;+]为Abel群 (2)[R;*]为半群 (3)*满足分配律: a*(b+c)=(a*b)+(a*c), (b+c)*a=(b*a)+(c*a) 则称[R;+,*]为环。 §1 环的定义与性质

(1)R;+中的运算+是一般的运算记号,而 不是普通的加法运算。 (2)R;+中的单位元通常用0表示,但这也 仅是记号,而不是实数0 (3)|R计+|中a逆元通常用-表示,同样也是 记号。 (4)0是+的单位元 (5)-是a关于+的逆元。 (6)a关于+运算n次a+a+,…+a通常记为na

(1)[R;+]中的运算+是一般的运算记号，而 不是普通的加法运算。 (2) [R;+]中的单位元通常用0表示，但这也 仅是记号，而不是实数0。 (3) [R;+]中a逆元通常用-a表示，同样也是 记号。 (4) 0是+的单位元 (5) -a是a关于+的逆元。 (6)a关于+运算n次a+a++a通常记为na

冷例:S≠,[P(S):F,∩] ⊕满足结合律 冷出的单位元是x, 冷对任意A∈S,关于⊕的逆元就是A. ⊕满足交换律 ∩满足结合律 ∩满足分配律 并且∩满足交换律 关于环的第二个运算满足交换律,称为交 英环

❖ 例：S,[P(S);,∩] ❖ 满足结合律 ❖ 的单位元是, ❖ 对任意AS, 关于的逆元就是A. ❖ 满足交换律 ❖ ∩满足结合律 ❖ ∩满足分配律 ❖ 并且∩满足交换律. ❖ 关于环的第二个运算满足交换律, 称为交 换环

冷定义:[R;+为环当第二个运算*满足 交换律时,称为交换环。 冷对于M;+,×]因为一般AxB≠BxA,故不是 交换环 冷而[P(S);,门,【z;+,则是交换环 冷定义:[R;+,为环当第二个运算*有单 位元时(一般表示为1时称该环为有单位 元环 关于环的修饰都是对第二个运算而言

❖ 定义：[R;+,*]为环,当第二个运算*满足 交换律时, 称为交换环。 ❖ 对于[M;+,],因为一般ABBA,故不是 交换环 ❖ 而[P(S);,∩], [Z;+, ]则是交换环. ❖ 定义：[R;+,*]为环,当第二个运算*有单 位元时(一般表示为1)时称该环为有单位 元环 ❖ 关于环的修饰都是对第二个运算而言

、环的性质 1.环的单位元与零元 关于第1个运算的单位元通常用0表 如果环是有单位元的环,通常将关 于第2个运算的单位元用1表示。 0和1都是记号,并不是数字

二、环的性质 1.环的单位元与零元 ❖关于第1个运算的单位元通常用0表 示 ❖如果环是有单位元的环，通常将关 于第2个运算的单位元用1表示。 ❖0和1都是记号,并不是数字

冷定理151:[R计+米为环,则对任ab∈R, 有 (1)a*0=0*a=0 冷(2)a*(-b)=(-a)*b=(a+b) 冷(3)(-a)*(-b)=a*b 冷(4如果环有单位元,则(1)*a=a, (5如果环有单位元,则(-1)米(-1)=

❖ 定理15.1：[R;+,*]为环,则对任a,bR, 有: ❖ (1)a*0=0*a=0 ❖ (2)a*(-b)=(-a)*b=-(a*b) ❖ (3)(-a)*(-b)=a*b ❖ (4)如果环有单位元，则(-1)*a=-a, ❖ (5)如果环有单位元，则(-1)*(-1)=1

关于第1个运算的单位元0在第2个运算* 下,对任意a∈R,有a*0=0米=0。即0为*的 零元 称关于第个运算的单位元为环的零元。 如果环是有单位元的环,则将关于第2个 运算的单位元称为环的单位元。 说明:关于环的修饰都是对第二个运算 而言

❖ 关于第1个运算的单位元0在第2个运算* 下，对任意aR,有a*0=0*a=0。即0为*的 零元。 ❖ 称关于第1个运算的单位元为环的零元。 ❖ 如果环是有单位元的环，则将关于第2个 运算的单位元称为环的单位元。 ❖ 说明：关于环的修饰都是对第二个运算 而言

[M22(Z);+,灯]是有单位元的环。 b 2(Z)= a,b,c,d∈z} C 环的零元是(0)2×,23(1 环的单位元是 0 ≠(0) ≠(0 00 2×2 0 10Y/00 但 =(O)22环的零因子 00八0

[M2,2(Z);+,]是有单位元的环。 ❖ 环的零元是(0)2,2 , ❖ 环的单位元是 ( ) { | , , , } 2,2 a b c d Z c d a b M Z          =         1 1 ( )2 2 0 0 0 1 0          ( )2 2 0 0 1 0 0          ( ) 0 2 2 0 1 0 0 0 0 1 0  =                 但 环的零因子