如何判别一个多项式不可约,并没有一个行 之有效的方法 1在无限数域上的不可约多项式问题 复数域上的任何多项式都是可约的。 实数域上任何多项式,根据复根共轭的性质, 知道实数域上只有2次不可约多项式。 有理数域,存在任意次不可约多项式
如何判别一个多项式不可约，并没有一个行 之有效的方法 1.在无限数域上的不可约多项式问题 复数域上的任何多项式都是可约的。 实数域上任何多项式，根据复根共轭的性质， 知道实数域上只有2次不可约多项式。 有理数域，存在任意次不可约多项式
定理1:若m次整系数多项式f(x)∈Zx在有理 数域Q上可约,则x)在整数环Z上一定可约。 定理2(艾森斯坦( Eisenstein判别法):设 f(x)=a0+a1x+,+anx是整系数多项式,若能 找到一个素数p,使得 (1)不能整除an (2)plao, a12",am19 (3)p不能整除a; 那么,(x)在有理数域上不可约
定理1：若n次整系数多项式f(x)∈Z[x]在有理 数域Q上可约，则f(x)在整数环Z上一定可约。 定 理 2(艾森斯坦 (Eisenstein)判别法 )： 设 f(x)=a0+a1x+…+anx n是整系数多项式，若能 找到一个素数p，使得 (1)p不能整除an； (2)p|a0 ,a1 , ┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约
艾森斯坦判别法是充分条件,不满足定理2 的多项式,不一定就可约。 如x2+3x+2和x2+1,都不满足定理2条件 前者在有理数域上可约,后者不可约
艾森斯坦判别法是充分条件，不满足定理2 的多项式，不一定就可约。 如x 2+3x+2和x 2+1，都不满足定理2条件， 前者在有理数域上可约，后者不可约
2有限域上的不可约多项式 有限域上的不可约多项式,最直观的就是将 域上所有m次多项式按次数列成表, 次数小的在前面,大的在后,次数相等的按 某种规定排列先后,排在最前面的多项式就 是不可约的,把它圈出来 再把该多项式倍式的多项式从表中划去。 剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就 是不可约的, 重复这一过程即可,但当n适当大时,工作 量就很大
2.有限域上的不可约多项式 有限域上的不可约多项式，最直观的就是将 域上所有n次多项式按次数列成表， 次数小的在前面，大的在后，次数相等的按 某种规定排列先后，排在最前面的多项式就 是不可约的，把它圈出来， 再把该多项式倍式的多项式从表中划去。 剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就 是不可约的， 重复这一过程即可，但当n适当大时，工作 量就很大
设(x)是F(q=p)上的n次多项式, 如果()=0则x)有因子x,故敢(x)可约 如果f0)≠0,若f(x)可约,则x)必有次数≤m/2 的不可约因式g(x)。 设g(x)次数为m,因为g(x)是有限域F上的m次 不可约多项式,则根据有限域上不可约多项 式根域的结论知,g(x)xq1-1,即f(x)与xq"-1 有次数大于1的公因子。 检验f(x)是否可约,只要考察下列最大公因子: (fx),xn1-1),对i=1,2,m/2,如果这些最 大公因子都是1,则x)不可约
设f(x)是F(q=pk )上的n次多项式， 如果f(0)=0,则f(x)有因子x,故f(x)可约. 如果f(0)0，若f(x)可约，则f(x)必有次数n/2 的不可约因式g(x)。 设g(x)次数为m,因为g(x)是有限域F上的m次 不可约多项式，则根据有限域上不可约多项 式根域的结论知，g(x)|xqm-1 -1,即f(x)与x qm-1 -1 有次数大于1的公因子。 检验f(x)是否可约，只要考察下列最大公因子： （f(x)，x q i -1 -1）,对i=1,2, ┅,[n/2],如果这些最 大公因子都是1，则f(x)不可约
常用的判断Z2上一个m次多项式是可约的方 法有: 1)如果fx)的常数项为0,除非x)=x,否 则一定可约。 2)如果f(x)中系数为的项个数为偶数,则 定可约。 3)如果((x),(x)≠1,则一定可约。 4)如果x+1)可约,则fx)一定可约。 5)如果x/x)可约,则f(x)-定可约
常用的判断Z2上一个n次多项式是可约的方 法有： 1）如果f(x)的常数项为0，除非f(x)=x，否 则一定可约。 2）如果f(x)中系数为1的项个数为偶数，则 一定可约。 3）如果(f(x),f’(x))1,则一定可约。 4）如果f(x+1)可约，则f(x)一定可约。 5）如果x n f(1/x)可约，则f(x)一定可约
对于Z2上一个m次多项式fx)=x叶x+1(m,k不同时为 偶数),则有: 1)当n≥4时,若n=1mod3,k=2mod3,或n=2mod3而 k=1mod3时,f(x)有因子x2+x+1,即f(x)可约。 2)f(x)满足下列3个条件中一个时,f(x)可约: i)n是偶数,k是奇数,n≠2k而nk2≡0mod4或 ≡1mod4 i)n是奇数,k是偶数,k不能整除2n,而n=±3mod8 in是奇数,k是偶数,k2n,而n≡mod8
对于Z2上一个n次多项式f(x)=xn+xk+1(n,k不同时为 偶数)，则有： 1）当n4时，若n1mod3,k2mod3,或n2mod3而 k1mod3时，f(x)有因子x 2+x+1，即f(x)可约。 2）f(x)满足下列3个条件中一个时，f(x)可约： i)n是偶数，k是奇数，n2k,而nk/20mod4或 1mod4 ii)n是奇数，k是偶数，k不能整除2n,而n3mod8 iii)n是奇数，k是偶数，k|2n,而n1mod8
、基本概念 1代数系统 运算,S→>S的映射称为S上的n元运算 代数系统:一个非空集合S,与一个或若干 个定义在S上的运算Q1,Q(k≥1,就构成 了一个代数系统,表示为S;Q1,Q 单位元,结合律,交换律,逆元,零元, 分配律 同态,同构
一、基本概念 1.代数系统 运算， S n→S的映射称为S上的n元运算 代数系统：一个非空集合S,与一个或若干 个定义在S上的运算Q1 ,…,Qk (k1),就构成 了一个代数系统, 表示为[S;Q1 ,…,Qk ]。 单位元，结合律，交换律，逆元，零元， 分配律 同态，同构
2相容 设~”为S上的等价关系,“”为S上 的二元运算。若对任意a,b,C,d∈S,当b, cl时,必有a*c~b*,则称等价关系与 运算*是相容的,称为代数系统S;*的 相容等价关系。 3半群,拟群,群 有关定理 4元素的阶和群的阶 定义结论
2.相容 设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上 的二元运算。若对任意a,b,c,dS，当a~b， c~d时，必有ac~bd，则称等价关系~与 运算 是相容的，称~为代数系统[S;]的 相容等价关系。 3.半群，拟群，群 有关定理 4.元素的阶和群的阶 定义,结论
5子群与陪集 概念,定理,陪集的实质 正规子群 6商群与群同态基本定理 7环的基本概念 环的零元环的单位元交换环 在环中讨论元素可逆 l-u"=(1-u)(1+uH+u2+…+u) 8特征数 整环的特征数 9.子环,理想,商环 主理想,主理想环 10多项式环
5.子群与陪集 概念,定理,陪集的实质 正规子群 6.商群与群同态基本定理 7.环的基本概念 环的零元,环的单位元,交换环 在环中讨论元素可逆 1-u n=(1-u)(1+u+u2++u n-1 ) 8.特征数 整环的特征数 9.子环，理想，商环 主理想,主理想环 10.多项式环