复旦大学：《离散数学 Discrete Mathematics（下）》英文课件（赵一鸣）06/32

三、拉格朗日定理 定理:G是群H是G的子群则H在G中 的左陪集数与右陪集数相等 定义1414:H为G的子群关于H的所有 不同的左(右)陪集数叫做H在G中的指数。 [E;+是z;十]的子群,E在Z中指数?

三、拉格朗日定理 ❖定理:G是群,H是G的子群,则H在G中 的左陪集数与右陪集数相等. ❖ 定义14.14：H为G的子群,关于H的所有 不同的左(右)陪集数叫做H在G中的指数。 ❖ [E;+]是[Z;+]的子群，E在Z中指数？

定理1417:G为有限群,H为其子群,则H 的阶可以整除G的阶其相除的商就是H在 G中的指数k 例:设a为有限群[G]的元素,则a的阶整 除|G| 例:G为有限群,阶为素数p,则[G;是 循环群

❖ 定理14.17：G为有限群,H为其子群, 则H 的阶可以整除G的阶,其相除的商就是H在 G中的指数k。 ❖ 例：设a为有限群[G;*]的元素，则a的阶整 除|G|。 ❖ 例：G为有限群，阶为素数p，则[G;*]是 循环群

≠0,a,b,c,d∈R} C H ≠0,a,b,c,d∈Q} c a a H= d22 a,b,c,d∈Q 20 2a√2b la,b,c,d∈Q 0 左右陪集不等 而z;+R;+]子君对任意的 a∈R,a+Z=Z+a,左右陷集相 正规子群

{ | 0,a,b,c,d R} c d a b c d a b G           = { | 0,a,b,c,d Q} c d a b c d a b H           = | a, b, c,d Q} 2c d 2a b H { 0 1 2 0          =         | a, b, c,d Q} c d 2a 2b { 0 1 2 0 H          =         正规子群 左右陪集相同 而 是 的子群但对任意的 左右陪集不等 a R, a Z Z a, [Z; ] [R; ] ,  + = + + +

四、正规子群 定义1415:H为群G的子群,当对任意的 g∈GgH=Hg,称H为G的正规子群也可称 为不变子群。 例:任意Abe群的子群都是正规子群。 三次对称群S3={eo1σ2,o3,o4o5}的所 有非平凡子群是:H1=e,1};H2={e,o2》}; H3={e,o3;H4={e,o4,os}。其中只有H4 是正规子群

四、正规子群 ❖ 定义14.15：H为群G的子群,当对任意的 gG,gH=Hg,称H为G的正规子群,也可称 为不变子群。 ❖ 例：任意Abel群的子群都是正规子群。 ❖ 三次对称群S3={e,1 , 2 , 3 , 4 , 5 }的所 有非平凡子群是: H1={e, 1 }; H2={e, 2 }; H3={e, 3 }; H4={e, 4 , 5 }。其中只有H4 是正规子群

(1)H为正规子群,则应对G中每个元素g 都有Hg=gH (2)正规子群的前提要求是H为子群。 冷(3)Hg=gH是表示两个集合相等,并不意 味着hg=gh,完全有可能Hg=gH,但hg≠gh (4Hg=gH是指,对任意h∈H,总存在 h'∈H,使得hg=gh

❖ (1)H为正规子群，则应对G中每个元素g 都有Hg=gH ❖ (2)正规子群的前提要求是H为子群。 ❖ (3)Hg=gH是表示两个集合相等，并不意 味着hg=gh,完全有可能Hg=gH,但hggh。 ❖ (4)Hg=gH是指，对任意hH，总存在 h'H ，使得hg=gh

定理1418:H是G的子群,它又是正规的, 当且仅当对任g∈Gh∈H有g1hg∈H 设G={(x;y)xy∈R,x≠0},在G上定义二 元运算如下: (x,y)(Z2w)=( XZ, xW+y)对任意(x2y),(z,w) ∈G。H={(1,y)y∈R 证明(H;●是群(G;●)的正规子群

❖ 定理14.18：H是G的子群, 它又是正规的, 当且仅当,对任gG,hH,有g-1hgH。 ❖ 设G={(x; y)|x,yR，x 0}, 在G上定义二 元运算如下： ❖ (x, y)●(z,w)=(xz, xw+y) 对任意(x,y),(z,w) G。H={(1,y)|yR} ❖ 证明 (H; ●)是群(G;●) 的正规子群

五、商群 设[H;是群[G;*的子群,对任意ab∈G,a 和b关于模H同余当且仅当a*b1∈H,记为 a=b(mod H) [a]={xx∈G,且Xa(modH)}={xx∈G,且x*a1 ∈H},Ha=[a]={h*ah∈H 设“~”为.S上的等价关系,“”为S上的二 元运算。 若对任意ab,c,deS,当ab,C~d时,必有 a*C~b*d,则称等价关系~与运算*是相容的, 称~为代数系统[s;的相容等价关系

五、商群 设[H;]是群[G;]的子群，对任意a,bG，a 和b关于模H同余当且仅当 ab-1H，记为 ab(mod H)。 [a]={x|xG,且xa(mod H)}= {x|xG,且 xa -1 H}, Ha=[a]={ha|hH} 设“ ~ ”为S上的等价关系， “*” 为S上的二 元运算。 若对任意a,b,c,dS ，当a~b,c~d时，必有 ac~bd，则称等价关系~与运算 是相容的， 称~为代数系统[S;]的相容等价关系

[H1,为三次对称群[s3,上的子群, “~”为模H1同余关系 4 3 5 但σ2·3与σ4°σ5不是模H同余的 该等价关系关于运算●是不相容的 事实上主要是因为叫H1,不是正规子群

❖ [H1 ,•]为三次对称群[S3 ,•]上的子群, ❖ H1={e,1 }, ❖ “~”为模H1同余关系 ❖ 则2~ 4 , ❖ 3~ 5 , ❖ 但2 •3与4 •5不是模H1同余的 ❖ 该等价关系关于运算•是不相容的 ❖ 事实上主要是因为[H1 ,•]不是正规子群

今引理(一):叶H;是群G;*的正规子群,定 义关系~如下:对任意a,b∈G,a~b当且仅 当a*b1∈H。则“~关于*为相容等价关系。 分析:关键是证明对任意a,b,c,deG若a-b c~d,必成立a*C~b*d就是要证明 (a*c)*(b*Q1∈H 应利用a*b1∈H和c*d1∈H 特别还要用到正规子群这个条件 定义1416:把“~”下的等价类全体构成的 集合,即子群H的所有右陪集全体构成的集 合,称为商集,记为GH

❖ 引理(一)：[H;]是群[G;]的正规子群，定 义关系~如下：对任意a,bG，a~b当且仅 当ab-1H。则“~”关于为相容等价关系。 分析:关键是证明对任意a,b,c,dG,若a~b, c~d,必成立ac~bd. 就是要证明 (ac)(bd) -1H 应利用ab-1H和cd-1H 特别还要用到正规子群这个条件 ❖ 定义14.16:把“ ~ ”下的等价类全体构成的 集合，即子群H的所有右陪集全体构成的集 合，称为商集，记为G/H

在相容条件下,我们定义⑧如下: 对任意[g=Hg1[g2=Hg2∈GH, Hg1Hg2=H(g1米g2) 引理(二):[H;*]是群[G;*]的正规子群,则⑧是 G/H上的运算。 对任意[a][]eS,[a△b]=[a*b],则由~关于*的相 容性,保证运算A的结果与等价类的选取无关。 引理(三):[H;*是群[G;*]的正规子群,则 [GH;⑧]是群。 证明:结合律 单位元:设e为群[G;*的单位元则He=H∈GH为 [GH;⑧]的单位元 逆元:对任意Ha∈GH,有逆元Ha1∈GH

❖ 在相容条件下，我们定义如下： 对任意[g1 ]=Hg1 ,[g2 ]=Hg2G/H, Hg1Hg2=H(g1*g2 ) ❖ 引理(二): [H;]是群[G;]的正规子群，则是 G/H上的运算。 对任意[a],[b]Š, [a][b]=[ab]，则由~关于的相 容性，保证运算的结果与等价类的选取无关。 ❖ 引理(三)：[H;]是群[G;]的正规子群，则 [G/H;]是群。 证明:结合律 单位元:设e为群[G;]的单位元,则He=HG/H为 [G/H;]的单位元 逆元:对任意HaG/H,有逆元Ha-1G/H