Zn上的m次不可约多项式f(x)的根域是什 么? 定理:Zn上的n次不可约多项式x)的根 域是GF(py)=Za) 推论16.6:GF(p中的元素恰为多项式xp X∈Zx的p个根。 习题16.16 如果a是x)在其根域上的根则N=Zn(ox) 该结论是针对有限域Z上的多项式,对于无 限域是不成立的。 例如x3是Qx上的不可约多项式,β为其根, 但Q()不是x3-a的根域
Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是什 么？ 定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根 域是GF(pn )=Zp () 推论16.6:GF(pm)中的元素恰为多项式x p m - xZp [x]的p m个根。 习题16.16 如果是f(x)在其根域上的根,则N=Zp () 该结论是针对有限域Zp上的多项式，对于无 限域是不成立的。 例如x 3 -是Q[x]上的不可约多项式，为其根， 但Q()不是x 3 -的根域
伽罗瓦域GF(p)在某种程度可以看做为 Zn上的m维线性空间,设入1,,m为基, 则有GF(p)=(a11+.an2ma∈Z,lsim} 因此对于域上的+运算,对于a,B∈GF(p), α=a1入1+…+anmβ=b1λ1+…bnm有 α+β=(a1+b1)^1+.(an+bn)~m α无法利用向量空间来简化表示
伽罗瓦域GF(pm)在某种程度可以看做为 Zp上的m维线性空间，设1 ,,m为基， 则有GF(pm)={a11+amm|aiZp ,1im} 因此对于域上的+运算，对于,GF(pm), =a11++amm, = b11+bmm,有： +=(a1+b1 )1+(am+bm)m, *无法利用向量空间来简化表示
因为关于向量没有定义2个向量乘法。 这里要注意,我们讲K为F上的线性空间,是 指域的载集的表示,而不是指域与线性空间 一致,故α*无法利用向量空间来简化表示。 (1)对任意的aBy∈K有: 0+β=B+a,a+(β+y)=(a+β)+y, 并且存在0∈K使得α+0=a,存在δ∈K,使得a+8=0 (2)纯量积定义: ①设1为域F的单位元,α∈K,则有1*=0*1= ②对任意的β∈K∈F有 C(B+Y)=(*8)+(0*y),(B+y)y=(B2cx)+(yo) ③对任意的a∈F,y∈K有(B*y)=(aB)当y
因为关于向量,没有定义2个向量乘法。 这里要注意，我们讲K为F上的线性空间，是 指域的载集的表示，而不是指域与线性空间 一致，故*无法利用向量空间来简化表示。 (1)对任意的,,K有: +=+, +(+)=(+)+, 并且存在0K,使得+0=,存在K, 使得+=0 (2)纯量积定义: ①设1为域F的单位元,K,则有1*=*1= ②对任意的,K,F有 *(+)=(*)+(*), (+)*=(*)+(*) ③对任意的,F, K有*(*)=(*)*
域的加法运算是多项式加,而乘法运算则 是多项式相乘。 本原元与本原多项式把乘法运算转换成 元素的幂的加法
域的加法运算是多项式加, 而乘法运算则 是多项式相乘。 本原元与本原多项式把乘法运算转换成 元素的幂的加法
§4本原元与本原多项式 引理16.4:[G;*为交换群。a,b∈G分别以 n和m为阶则存在c∈G,其阶为m与n之最小 公倍数[n,m] 证明:m=1,m与n之最小公倍数为n,取c=a n=1,m与n之最小公倍数为m,取c=b m,n都大于1, 习题1420:G为群,a,b∈G,已知ab=ba,a的阶为n,b 的阶为m,则(m,m)=1时,ab阶为nm
§4 本原元与本原多项式 引理16.4：[G;*]为交换群。a,bG,分别以 n和m为阶, 则存在cG,其阶为m与n之最小 公倍数[n, m]。 证明：m=1, m与n之最小公倍数为n,取c=a n=1, m与n之最小公倍数为m,取c=b m,n都大于1， 习题14.20:G为群,a,bG,已知ab=ba,a的阶为 n, b 的阶为m, 则(n,m)=1时,ab阶为nm
引理16.5:[G;*为交换群,a∈G是其中阶最大 元,设其阶为n则任一x∈G的阶可整除n 定理1616:GF(p)中非零元全体关于乘法构 成循环群。 关键证明存在元素,其阶为p-1。 找元素,阶最大的
引理16.5：[G;*]为交换群,aG是其中阶最大 元,设其阶为n。则任一xG的阶可整除n。 定理16.16:GF(pm)中非零元全体关于乘法构 成循环群。 关键证明存在元素，其阶为p m－1。 找元素，阶最大的
定义16.10:循环群GF(p);之生成元称 为有限域GF(p)的本原元。 β∈GF(pP)是本原元,则GF(p)中元素 可表示为: GF(p)={0,80=1,B,B2,,Bp2 例:找出GF(32)的所有本原元 不可约多项式x2+1 α+1,a+2,2a+1,2a+2都是本原元
定义16.10:循环群[GF(pm) * ;*]之生成元称 为有限域GF(pm)的本原元。 GF((pm))是本原元, 则GF((pm))中元素 可表示为: GF((pm))={0, 0=1,, 2 ,, pm-2 } 例:找出GF(32 )的所有本原元。 不可约多项式x 2+1 +1, +2, 2+1, 2+2都是本原元
a+1是本原元,则其他元素2,a,a+2,2a, 2a+1,2a+2怎样表示成a+1的幂次? 二、本原多项式 定义1611:设g(x)∈Znx是m次不可约多 项式当k=p-1时g(x)(xk1),当kpm1时 g(x)不能整除(xk1,称g(x)为Z上的本原 多项式
+1是本原元,则其他元素2,, +2,2, 2+1,2+2怎样表示成+1的幂次? 二、本原多项式 定义16.11:设g(x)Zp [x]是m次不可约多 项式,当k=pm-1时g(x)|(xk-1),当k<pm-1时 g(x)不能整除(x k-1),称g(x)为Zp上的本原 多项式
定理1616:g(x)∈Zx是不可约的m次多 项式,它是本原多项式,当且仅当g(x)的所 有根x都是Znx/(g(x)=GF(p)的本原元。 (1)g(x)是不可约的m次多项式,所有根都是 Z2lx(g(x)=GF()的本原元则是本原多项 式 (g(x)x是g(x)的根则阶为p1 (2)g(x)是本原多项式 g(x)与x-1有公共零点 习题16.16:f(x)不可约,fx)与g(x)有公共零点,则 f(x)lg(x)
定理16.16:g(x)Zp [x]是不可约的m次多 项式,它是本原多项式,当且仅当g(x)的所 有根x都是Zp [x]/(g(x))=GF(pm)的本原元。 ( 1 ) g(x)是不可约的 m次多项式 , 所有根都是 Zp [x]/(g(x))=GF(pm)的本原元,则是本原多项 式 (g(x))+x是g(x)的根,则阶为p m-1 (2)g(x)是本原多项式 g(x)与x t -1有公共零点 习题16.16:f(x)不可约,f(x)与g(x)有公共零点,则 f(x)|g(x)
例:GF(2)≌Z2x]/(x2+x+1),证明x2+x+1是 Z2上的本原多项式。 设α是Z2x上的多项式(x2+x+1)的根,请 将下式化简为的幂次 (a2+a)*(a2+1)1+a-2+o 例:GF(24)≌Z2x]/(x4x+1),证明x4x+1是 Z2上的本原多项式
例:GF(2 2 )≌Z2 [x]/(x2+x+1),证明x 2+x+1是 Z2上的本原多项式。 设是Z2 [x]上的多项式( x 2+x+1)的根,请 将下式化简为的幂次。 (2+)*(2+1)-1+-2+ 例:GF(2 4 )≌Z2 [x]/(x4+x+1),证明x 4+x+1是 Z2上的本原多项式