复旦大学：《离散数学 Discrete Mathematics（下）》英文课件（赵一鸣）05/32

例ε循环群的每个子群一定是循环群。 证明:设H是循环群G的子群,a是G的 生成元 l.a∈H 2a∈H,因H中每个元素都可以表示成a 的幂次形式。 设a是H中幂次最小的正整数。 对任意的a∈H,mk+r(≤r≤k-1) 目标r=0

▪ 例：循环群的每个子群一定是循环群。 ▪ 证明：设H是循环群G的子群，a是G的 生成元。 ▪ 1.aH ▪ 2.aH，因H中每个元素都可以表示成a 的幂次形式。 ▪ 设a k是H中幂次最小的正整数。 ▪ 对任意的a l H，l=mk+r(0≤r≤k-1) ▪ 目标r=0

、陪集 a,b关于模n同余当且仅当(a-b被n整除。 定义:设[H是群[G;*]的子群,对任意 ab∈G,a和b关子模H问余当且仅当a*b1∈H 记为a=b(modH) 定理1415:[G;*]为群H∈G,H为G的子群,当且仅当对任 a,b∈H,有a*b1∈H。 定理:G上的关于模H同余关系是等价关系。 证明:自反 对称 传递

二、陪集 ▪ a,b关于模n同余当且仅当(a-b)被n整除。 ▪ 定义：设[H;]是群[G;]的子群，对任意 a,bG，a和b关于模H同余当且仅当ab-1H 记为ab(mod H)。 ▪ 定理14.15:[G;]为群,HG,H为G的子群, 当且仅当,对任 a,bH,有ab -1H。 ▪ 定理：G上的关于模H同余关系是等价关系。 ▪ 证明:自反 ▪ 对称 ▪ 传递

[a]={xx∈G,且 X=a(mod H} ={xx∈G,且x*a1∈H} ={h*ah∈H 以a为代表元的等价类实质上是a从右边 乘H中的每个元素而得到的集合, Ha Ha={h*ah∈H}称为H在[G;*]中的右陪 集

▪ [a]={x|xG,且xa(mod H)} ={x|xG,且xa -1H} ={ha|hH} ▪ 以a为代表元的等价类实质上是a从右边 乘H中的每个元素而得到的集合， ▪ Ha ▪ Ha={ha|hH}，称为H在[G;]中的右陪 集

设[H;*是群[G;*]的子群,a∈G,则 (1)b∈Ha当且仅当b*a1∈H (2)b∈aH当且仅当a1*b∈H 定义1413:设[H;*]为群[G;的子群,取G 中一个固定元素g用g与H中的每个元素进 行乘法运算,将其结果组成一个集合,记为 gH,即:gH=g*hheH称它为H的左美同 理定义Hg=h*gheH为H的右集。 G=∪Ha=U∪aH a∈ a∈G

▪ 设[H;]是群[G;]的子群，aG，则 (1)bHa当且仅当ba -1H (2)baH当且仅当a -1bH ▪ 定义14.13：设[H;]为群[G;]的子群, 取G 中一个固定元素g,用g与H中的每个元素进 行乘法运算, 将其结果组成一个集合, 记为 gH,即:gH={gh|hH}称它为H的左陪集,同 理定义Hg={hg|hH}为H的右陪集。   a G a G G H a a H   = =

例:[E;十是群[z+]的子群,求它的所有 右陪集。这里E表示偶数全体 例:三次对称群S3={e2σ1,σ2,3,O4,5 的所有非平凡子群是 1={e,∞1:H2={e,o2;H3={e,o3}; H4={e,o4,s}。其中H4就是三次交代群 A3。现在考察H的陪集

▪ 例：[E;+]是群[Z;+]的子群，求它的所有 右陪集。这里E表示偶数全体。 ▪ 例：三次对称群S3={e,1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 的所有非平凡子群是: ▪ H1={e, 1 }; H2={e, 2 }; H3={e, 3 }; H4={e, 4 , 5 }。其中H4就是三次交代群 A3。现在考察H1的陪集

eH1=o1H1=H1;σ2H1=5H1={2o5} 3H1=4H1={o3,o4H;H1e=H1o1=H H1o2=H1o4={o2,o4};H1o3=H1o5={3,o5} 显然G2H1≠H1①2,05出H1件H105,03H1≠H1o3, O,+ 这说明左、右陪集一般不等

e H1=1H1=H1 ; 2H1=5H1={2 , 5 } 3H1=4H1={3 , 4 };H1e =H11=H H12=H14={2 , 4 };H13=H15={3 , 5 } 显然2H1H12 , 5H1H15 , 3H1H13 , 4H1H14 ▪ 这说明左、右陪集一般不等

引理141:如果HG是子群那么任 g∈G所构成的陪集gH=H,|Hg|=|H| 分析:证明基数相等的一种方法是证明两个 集合之间存在双射 证明:定义映射φ:H→Hg, cp(h)=h*g 利用群消去律证明是一对一的 而满射是显然的因为对任意的h*g∈Hg,有 op(h)=h*g

▪ 引理14.1：如果HG是子群,那么任一 gG所构成的陪集|gH|=|H|, |Hg|=|H|。 分析:证明基数相等的一种方法是证明两个 集合之间存在双射. 证明:定义映射:H→Hg, (h)=hg 利用群消去律证明是一对一的. 而满射是显然的,因为对任意的hgHg, 有 (h)=hg

引理142:H为G的子群g1292∈G,两个右 陪集Hg1与Hg2则:或HgHg2,或 Hg,nHg2=。 证明利用等价类的性质 例:设[H;*是群[G;*的子群,则 (1)若b∈aH,则bH=aH (2)若b∈Ha,则Hb=Ha 由等价类的概念和性质即得

▪ 引理14.2：H为G的子群,g1 ,g2G,两个右 陪集Hg1与Hg2 ,则: 或Hg1=Hg2 ,或 Hg1∩Hg2=。 ▪ 证明:利用等价类的性质. ▪ 例：设[H;]是群[G;]的子群，则 (1)若baH，则bH=aH (2)若bHa，则Hb=Ha 由等价类的概念和性质即得

三、拉格朗日定理 定理:G是群,H是G的子群则H在G中的左 陪集数与右陪集数相等 证明:设S和T分别为G的关于H的所有右和左陪 集的集合。现在要证明的是|S|=Tl。考虑证明 存在S→T的双射。 定义φ:S→Tq(Ha)=a1H (1)q是映射。关键是说明当Ha=Hb时, o(Ha)=a-H, ((Hb)=b-H, Fa1H=b-H (2)φ是一对一的。对任意的Ha,Hb,若 p(Ha=((Hb) 即a1H=b1H,是否有Ha=Hb (3)满射

三、拉格朗日定理 ▪ 定理:G是群,H是G的子群,则H在G中的左 陪集数与右陪集数相等. 证明：设S和T分别为G的关于H的所有右和左陪 集的集合。现在要证明的是|S|=|T|。考虑证明 存在S→T的双射。 定义: S→T, (Ha)=a-1H。 (1) 是映射。关键是说明当Ha=Hb时, (Ha)=a-1H，(Hb)=b-1H，有 a -1H=b-1H ( 2 )  是一对一的 。 对 任 意 的 Ha,Hb, 若 (Ha)=(Hb) 即a -1H=b-1H，是否有Ha=Hb. (3)满射

作业P29425,27,28 补充:设H1,H2是G的子群证明HH2是 G的子群当且仅当H1H2=H2H1其中 HH2={hh2h1∈H并且h2∈H2 H2H{h2hh1∈H1并且h2∈H2} 下次介绍拉格朗日定理,正规子群 商群,群同态基本定理

▪作业 P294 25,27,28 ▪ 补充：设H1 ,H2是G的子群,证明H1H2是 G的子群当且仅当H1H2=H2H1 ,其中 H1H2={h1h2 |h1H1并且h2H2 }, H2H1={h2h1 |h1H1并且h2H2 } ▪ 下次介绍拉格朗日定理，正规子群， 商群，群同态基本定理