处的截面作为该单元的截面。显然，采用这样的处理方法，单元划分得越多，其计算结果将 越接近于真实情况。 二、单元杆端力和杆端位移的表示方法 图12一2示一等截面单元色它的两端分别用)表示。当不考虑其两端的约束情况时，共有 六个杆端位移和六个杆端力。i端的杆端位移为，可和可相应的杆端力为FF和M可 端的杆端位移为可、可和弓，相应的杆端力为、%和网。下面说明杆端位移和杆端力的正 负号规定及其矩阵表示方法 的方向，这个坐标系称为单元的局部坐标系。在局部坐标系中，杆端位移和杆端力的正方向 均规定与坐标轴的正方向一致时为正，转角和弯矩的正方向按照右手螺旋法则规定为逆时针 方向，因为图示弯矩（或转角）是绕2轴旋转的亿轴为垂直于O匠了？平面的轴线)，当规定它的力 偶矢量与轴的正方向 致时为正 则其正方向应该是逆时针方向。这种正负符号规定不同 材料力学中的规定，而且也与本书其它各章的规定有所不同，学习时需加注意。 若用下 代表单元④的杆端力列向量，6代表杆端位移列向量，则有： F=[Fi F M:Fi Fa M:] 8=[所可到或买可形护 (12-1) 式中各元素是按照先i端后j端并且依少，远的顺序排列的。 三、单元刚度矩阵 用位移法解题时，必须建立反映杆件物理性质的杆端力和杆端位移之间的关系式一转角 位移方程。在矩阵位移法中，这种关系式将用矩阵的形式来表示。杆件转角位移方程的矩阵 表达式称为单元刚度方程：下“=骨，式中矩阵称为单元⊙对应于局部坐标系的单元刚度 矩阵。本节讲述平面杆件结构中等截面直杆的单元刚度方程及其相应的单元刚度矩阵。 1.自由单元的单元刚度矩阵自由单元是指两端不受约束的杆件。下面分别介绍自由 彬架单元、自由梁式单元和自由刚架单元的单元刚度矩阵。 ()自由桁架单元 桁架单元的特点是它只产生轴向变形和只承受轴向力，图12一3所示为两端不受约束 的析架单元的变形和受力情况。它的两端有两个轴向位移买，可和两个轴向力F。、F。若己 知杆端位移，可，则可求出相应的两个轴向力。由胡克定律，参照图12一3b,c,按叠加原 理可得 处的截面作为该单元的截面。显然，采用这样的处理方法，单元划分得越多，其计算结果将 越接近于真实情况。 二、单元杆端力和杆端位移的表示方法 图 12 一 2 示一等截面单元色它的两端分别用 i,j 表示。当不考虑其两端的约束情况时，共有 六个杆端位移和六个杆端力。i 端的杆端位移为 相应的杆端力为 和 端的杆端位移为 ，相应的杆端力为 和 。下面说明杆端位移和杆端力的正 负号规定及其矩阵表示方法。 对单元 ij 建立直角坐标系 ，如图 12 一 2，其中 x 轴与单元的截面形心轴重合，并 规定由 i 到 J 的方向为正， 轴和 轴为杆件横截面的两个主惯性轴，以右手法则定出 轴和 轴 的方向，这个坐标系称为单元的局部坐标系。在局部坐标系中，杆端位移和杆端力的正方向 均规定与坐标轴的正方向一致时为正，转角和弯矩的正方向按照右手螺旋法则规定为逆时针 方向，因为图示弯矩(或转角)是绕 z 轴旋转的(z 轴为垂直于 平面的轴线)，当规定它的力 偶矢量与 轴的正方向一致时为正，则其正方向应该是逆时针方向。这种正负符号规定不同于 材料力学中的规定，而且也与本书其它各章的规定有所不同，学习时需加注意。 若用 代表单元④的杆端力列向量， 代表杆端位移列向量，则有： 式中各元素是按照先 i 端后 j 端并且依 的顺序排列的。 三、单元刚度矩阵 用位移法解题时，必须建立反映杆件物理性质的杆端力和杆端位移之间的关系式— 转角 位移方程。在矩阵位移法中，这种关系式将用矩阵的形式来表示。杆件转角位移方程的矩阵 表达式称为单元刚度方程： ,，式中矩阵 称为单元 对应于局部坐标系的单元刚度 矩阵。本节讲述平面杆件结构中等截面直杆的单元刚度方程及其相应的单元刚度矩阵。 1.自由单元的单元刚度矩阵 自由单元是指两端不受约束的杆件。下面分别介绍 自由 彬架单元、自由梁式单元和 自由刚架单元的单元刚度矩阵。 (1)自由桁架单元 桁架单元的特点是它只产生轴向变形和只承受轴向力，图 12 一 3a 所示为两端不受约束 的桁架单元的变形和受力情况。它的两端有两个轴向位移 和两个轴向力 。 若已 知杆端位移 ，则可求出相应的两个轴向力。由胡克定律，参照图 12 一 3b,c，按叠加原 理可得: