精品课程《数学分析》课外训练方案 f(x)=-f(-x),x∈[-,0) 然后再作2丌周期延拓,必得奇函数,所得 Fourier级数必为正弦级数。对应地,补充定义 f(x)=f(-x),x∈[-x,0)后,再作2z周期延拓,必得偶函数,所得 Fourier级数必为余弦 级数 Fourier级数的复数表示形式: 设f(x)~+∑( an cosma+ b, sin nx)),则其复数表示形式为 f(x)~∑Cnem 其中,复的 Fourier系数C,= i_1 2r Jo /(x)e dr=c-n Riemann(黎曼)引理:设∫(x)在(有界或无界)区间<a,b>上绝对可积,则 f(x) cos pxdx→0,「f(x) )sin pxd→>0(p→∞) 推论1:在[O,7]上绝对可积函数f(x)的 Fourier系数 fo X)cos xdx→0,(n→∞);bn f(x)sin=xdx→>0,(n→>∞)。 逐项积分定理:设周期为2的函数f(x)局部绝对可积且在[-r,]上 f(x)-+2(a, cos nx+b, sin nx) b 则一收敛,且逐项积分公式成立 「(M=2m+2amn+tsm) 注意:(1)以上是默认在[-丌,丌]上讨论的,一般的逐项积分公式为 ∫(oM=「2a+∑厂 (a, cos nt +b, sin nt )a精品课程《数学分析》课外训练方案 f x( ) = − − f ( x), x ∈[−π ,0) 然后再作 2π 周期延拓，必得奇函数，所得 Fourier 级数必为正弦级数。对应地，补充定义 f x( ) = − f ( x), x ∈[−π ,0)后，再作 2π 周期延拓，必得偶函数，所得 Fourier 级数必为余弦 级数。 Fourier 级数的复数表示形式： 设 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b ∞ = + ∑ + nx ，则其复数表示形式为 ( ) ~ inx n f x C e +∞ −∞ ∑ ， 其中，复的 Fourier 系数 2 0 1 ( ) 2 2 n n inx n n a ib C f x e π π − dx C− − = = = ∫ 。 Riemann（黎曼）引理：设 f x( ) 在（有界或无界）区间< a b, > 上绝对可积，则 ( ) cos 0 b a ∫ f x pxdx → ， ( )sin 0 。 b a ∫ f x pxdx → ( ) p → ∞ 推论 1：在[0,T]上绝对可积函数 f (x) 的 Fourier 系数 0 2 2 ( ) cos 0,( ) T n n a f x xdx n T T π = → → ∞ ∫ ； 0 2 2 ( )sin 0,( ) T n n x xdx n T T b f π = → → ∞ ∫ 。 逐项积分定理：设周期为 2π 的函数 f x( ) 局部绝对可积且在[ , −π π ]上 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b ∞ = + + ∑ nx ， 则 1 n n b n ∞ = ∑ 收敛，且逐项积分公式成立： 0 0 0 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 x x x n n n a f t dt dt a nt b nt dt ∞ = = + ∑ + ∫ ∫ ∫ 。 注意：（1）以上是默认在[ , −π π ]上讨论的，一般的逐项积分公式为： 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 x x x n n c c c n a f t dt dt a nt b nt dt ∞ = = + ∑ + ∫ ∫ ∫ ， 2