精品课程《数学分析》课外训练方案 其中c,x是[-x,丌]上任意两点;(2)逐项积分定理中,并没有要求∫(x)的 Fourier级数是 收敛的,但逐项积分后所得的级数总是收敛的:(3)并非每个三角技术都能成为局部绝对可 积函数的 Fourier级数 基本方法 1.利用定义将函数展开为傅立叶级数: 2.将以2l为周期的函数用收敛定理展开; 用贝赛尔定理证明关于级数部分和的有关问题。 三、基本要求 1.会将函数展开为傅立叶级数: 2.会展开周期为2/的傅立叶级数 3.会用贝赛尔定理证明关于级数部分和的问题。 四、典型例题 例1将函数f(x)= x二x展开为傅立叶级数。 解 - dx=o, a cos ndx=0 2 2 sin xdx=-,n=1,2,…,所以在区间(0,2x)上 丌-x f(x) sin nx 例2将函数f(x)=-x,在[O,r]上展开为余弦级数。 C-xdx=0 20(-x)cos nx 0,当n为偶数时 (cos nx 当n为奇数时 A 由收敛定理及∫(x)延拓后连续知,f(x) 4 S cos(2n-I)x (2n-1)2,x∈[0,x] 五、自测题 1、把∫(x)={ 展开成傅立叶级数 3x.0<x<丌 2、设f(x)在-x,n]上可积,证明精品课程《数学分析》课外训练方案 其中c, x 是[ , −π π ]上任意两点； (2 ) 逐项积分定理中，并没有要求 的 Fourier 级数是 收敛的，但逐项积分后所得的级数总是收敛的；(3 ) 并非每个三角技术都能成为局部绝对可 积函数的 Fourier 级数。 f x( ) 二、基本方法 1. 利用定义将函数展开为傅立叶级数； 2. 将以 2l 为周期的函数用收敛定理展开； 3. 用贝赛尔定理证明关于级数部分和的有关问题。 三、基本要求 1. 会将函数展开为傅立叶级数； 2. 会展开周期为 2l 的傅立叶级数； 3. 会用贝赛尔定理证明关于级数部分和的问题。 四、典型例题 例 1 将函数 2 ( ) x f x − = π 展开为傅立叶级数。 解 0 2 1 2 0 0 = − = ∫ dx x a π π π ， cos 0 2 1 2 0 = − = ∫ nxdx x an π π π ， n nxdx x bn 1 sin 2 1 2 0 = − = ∫ π π π ， n = 1,2,L，所以在区间(0,2π ) 上， ∑ ∞ = = − = 1 sin 2 ( ) n n x nx f x π 。 例 2 将函数 f x = − x 2 ( ) π ，在[0,π ]上展开为余弦级数。 解 ) 0 2 ( 2 0 0 = − = ∫ a x dx π π π ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = ⋅ − = ∫ 当 为奇数时 当 为偶数时 n n n nx n a x nxdx n , 4 0, 0 ( cos ) 2 1 ) cos 2 ( 2 2 2 0 π π π π π π 由收敛定理及 f (x) 延拓后连续知， ∑ ∞ = − − = − = 1 2 (2 1) 4 cos(2 1) 2 ( ) n n n x f x x π π ， x ∈[0,π ] 。 五、自测题 1、把 2 , 0 ( ) { 3 ,0 x x f x x x π π − < < = < < 展开成傅立叶级数。 2、设 f x( )在[−π,π ]上可积，证明: 3