高等数学教案 第七章微分方程 第六节高阶线性微分方程 教学内容：1、二阶线性微分方程举例： 2、二阶线性微分方程解的结构； 3、常数变易法 教学目标：熟练掌握二阶线性微分方程的求解方法 教学重点：二阶线性微分方程的求解方法 教学难点：常数变易法 教学方法：讲练结合 作业：P3311,3,4(2),(⑤：*6,8 教学过程： 本节和下一节，我们学习实际问题中应用较多的高阶线性微分方程，讨论时以二阶线性 微分方程为主。 一、二阶线性微分方程举例： 例1.设有一个弹簧，他的上端固定，下端挂一个质量为m的物体，当物体处于静止状 态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等、方向相反。这个位置就是物体的平衡位置， 如果给物体一个出速度。≠0，通过分析，我们得到在有阻尼情况下物体自由振动的微分 方程： d-x n+k2x=0。 2+2 如果物体还受到铅直干扰力F=H sin pt作用，则 d2x +2n本+kx=h5血p1h=,这就是强迫振动的微分方程 例2.设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路，其中R、L及C 为常数，电源电动势是时间t的函数：E=E,snot,这里Em、o也是常数。通过分析， 我们得到串联电路的振荡方程 d+26+2=C di Esin ot。 定义：从上面我们得到形如☆+心】 +Q(x)y=f(x)的方程，我们称为二 dx 阶线性微分方程。 当方程右端f)=0时，即 ,2+P(x)少+O(x)y=0,我们称为三阶线性齐次微■ dx 分方程：