高等数学教案 第七章微分方程 当方程右端f)≠0时，即十 在2+PC)+Ox)y=x)·我们称为二阶线性罪 dx 齐次微分方程。 二、二阶线性微分方程解的结构： （一）二阶齐次线性微分方程 在2+Px+Ox)y=0(*) dx 定理1如果函数y,(x)和y2(x)是方程(*)的两个解，那么 y=Cy(x)+C2y2(x)(C1,C,为任意常数)是(*)的解。 说明：①定理没有说y=Cy,(x)+C2y2(x)是通解； ②可以看出，齐次线性微分方程的解符合叠加原理。 定理2如果函数y(x)和y,(x)是方程(*)的两个线性无关的特解，那么 y=Cy (x)+C2y2(x) (C1,C2为任意常数)是(*)的通解。 前面我们学习了函数线性相关、无关的定义，在此基础上我们有： 定理1-2（合）（二阶齐次线性微分方程的解的叠加原理）如果函数y,(x)和y,(x)是 方程(*)的两个解，那么y=Cy,(x)+C2y2(x)(C,C,为任意常数)是(*)的 解：且当y,(x)和y,(x)线性无关时，y=Cy,(x)+C2y2(x)是齐次线性微分方程(*) 的通解。 证明：（带入验证即可得到证明，略）。 例3.求方程y"+y=0的通解。 解：这是二阶线性齐次方程（这里P(x)=0,Q(x)=1), 容易验证：y1=cosx,y2=sinx是方程的两个解，且 上=sinX=tanx≠常数，即线性无关。 y cosx 所以，方程的通解为：y=C,cosx+C,sinx(其中C、C,是任意常数)。 从定理2不难推广到n阶奇次线性方程， 推论：如果y(x),y2(x),yn(x)是n阶奇次线性方程 y0+a,(x)ym-+…+an-(x)y"+an(x)y=0的n个线性无关的解，那么此方程的通 解为y=Cy,(x)+C2y2(x)+.+Cnyn(x),其中C1,C2,Cn是任意常数。 (二)二阶非齐次线性微分方程+P()少+Qxy=f)一(*) 2 d 2