高等数学教案 第七章微分方程 定理3.设y°(x)是二阶非奇次线性微分方程(*)的一个特解，Y(x)是其奇次方程(*) 的通解，那么y=Y(x)+y(x)是(*)的通解。 证明：（代入验证可以得到，略）。 例4.已知y(x)=x2-2方程y"+y=x2的特解，求方程的通解。 解：此方程为二阶非奇次线性微分方程， 对应的奇次方程为y"+y=0,其通解为y=C,cosx+C2sinx(其中C、C2是 任意常数) 由定理3可得原方程通解为：y=C,cosx+C2sinx+x2-2(其中C、C2是任 意常数)。 例4中非奇次线性微分方程的特解给出了，如果在求非奇次线性微分方程的时候并没 有给出特解，在处理问题的时候就需要自己求出来，下面给出一个求非奇次线性微分方程特 解的定理。 定理4.设非奇次线性微分方程(*)的右端f(x)是几个函数之和的形式， +P要+ep=i+5, 如y dx 而y1(x)与y2(x)分别是方程 d+p d +Q(x)y=(x)与 d2y c42 +P)少+0y=,)的特解，那么)+，)就是原方程的特解。 dx 证明：（代入验证即可得到，略）。 说明：①这一定理通常称为非奇次线性微分方程的解的叠加原理。 ②定理3、4可以推广到n阶非奇次线性方程（由学生自己完成)。 (三)常数变易法解二阶非奇次线性微分方程 前面我们利用常数变易法解一阶非齐次线性微分方程，将对应奇次方程通解中的C换 成C(x),对于二阶非奇次线性微分方程同样可以利用常数变易法。比如， +P)少+Q(xy=0的通解是 d42 Yx)=Cy()+C2y,(x)，那么 d'y 气+P(x+O()y=fx)的通解为 d Y(x)=C(x)y,(x)+C2(x)y2(x). 至于如何解出C(x)、C,(x)有兴趣的同学课下自学，这里的说明只作为了解。 三、本节小结： 这一节我们重点学习了二阶线性微分方程的定义和二阶线性微分方程解的结构的相关