根据 连续函数的中值定理,n(x)与(a,b)内至少有N-1=m+n-d+1个零点然而 7(x)=Q(x)-R(x)=v(x)/a(x) 中分子v(x)的次数≤mx{m+n-,m+n-}=m+n-d.从而必有r(x)=0,亦 Q(x)=R(x)此与定理假设相矛盾,故定理得证 定理2在所有形如(l1)的有理分式中,至少存在一个有理分式Qx) 使得它与 f(x)的偏差Δ()取到极小值,即 △(Q)=mn 证明只须证明存在形如(1.1)的有理分式Q(x),使得 下面我们将具体地构造出Ω(x)来按下确界的定义,存在无穷函数序列 Q(x)},使得 lm A(O)=Pmn(), 其中 OO Imi Pox+P1x+…+Pn 将Q(x)如下标准化,使其分母的系数满足 poi t 我们来证明相应的系数qn(=01…,m)也是有界的事实上,设 △(Q)<M(=1,2,…) 又设51,点2,…,5m为(a,b)内给定的互异点,则对其中任一点5,必有根据 连续函数的中值定理， (x) 与 (a,b) 内至少有 N −1= m+ n − d +1 个零点.然而 (x) = Q(x) − R(x) = v(x)/ u(x) 中分子 v(x) 的次数  max{m + n − ,m + n −} = m + n − d. 从而必有 (x)  0 ，亦 即 Q(x)  R(x).此与定理假设相矛盾，故定理得证. 定理 2 在所有形如（1.1）的有理分式中，至少存在一个有理分式 Q(x), 使得它与 f (x) 的偏差 (Q) 取到极小值，即 (Q) = min . 证明 只须证明存在形如（1.1）的有理分式 Q(x), 使得 ( ) ( ) , Q f  =  m n . 下面我们将具体地构造出 Q(x) 来.按下确界的定义，存在无穷函数序列 {Q (x)} i ，使得 lim ( ) ( ) , Q f i m n i  =  → ， 其中 ni n i n i mi m i m i i p x p x p q x q x q Q x + + + + + + = − −   1 0 1 1 0 1 ( ) . 将 Q (x) i 如下标准化，使其分母的系数满足 1( 1,2, ). 2 2 1 2 p0i + p i ++ pni = i =  我们来证明相应的系数 q ( j 0,1, ,m) ji =  也是有界的.事实上，设 (Q )  M(i =1,2,). i 又设 1 2 1 , , ,     m+ 为 (a,b) 内给定的互异点，则对其中任一点  ，必有