Po5"+p15 P g”+q5"+…+q厘 32+2+…+nm-/(+/ ≤M+mxf(x) a≤xsb 从而有正常数K存在,使得 5"+q1 +qmi< k 由于多项式qoxm+q1xm+…+qm于m+1个点51,52…,5m处的值是有界 的, 比方设它们依次为K1,K2,Km1,则按线性方程组 40 qui K,G=1,2,,m+1) 可以解出q的一个表达式(=0,…,m)显然这些qn(=0,…,m)均有界 由于P1(=0,…,m)和q(=0,…,m)有界,根据 bolzano- Weierstrass定 理, 在有理分式序列{Q(x)}中,可以选出某子序列,不妨仍记为Q(x)},使得 lim pi=aj,lm qn=b, 今作(1.1)型有理分式 P(x) bx+b ax+ax+.+a 以下来证明△(P)=mxf(x)-P(x)=pn()因为P(x)只可能在有限多个点 处 变为无穷,而在[ab]区间的其它点x处,显然有 Im O(x)=P(x) (1.5)ni n i n i mi m i m i p p p q q q + + + + + + − +   1 0 1 1 0 1      ( ) ( ) 1 0 1 1 0 1       f f p p p q q q ni n i n i mi m i m i − + + + + + + + − +   M max f (x) axb  + . 从而有正常数 K 存在，使得 q q qmi K m i m i + + +  0  1  −1  . 由于多项式 mi m i m q i x + q x + + q 0 1 −1  于 m+1 个点 1 2 1 , , ,     m+ 处的值是有界 的， 比方设它们依次为 1 2 1 , , , K K  Km+ ，则按线性方程组 ( 1,2, , 1) 1 0 + 1 + + = = + − q q qmi Kj j m m i j m i j    ， 可以解出 li q 的一个表达式 (l = 0,,m).显然这些 q (l 0, ,m) li =  均有界. 由于 p ( j 0, ,n) ji =  和 q (l 0, ,m) li =  有界，根据 Bolzano-Weierstrass 定 理， 在有理分式序列 {Q (x)} i 中，可以选出某子序列，不妨仍记为 {Q (x)} i ，使得 lim ,lim . li l i ji j i p = a q = b → → 今作（1.1）型有理分式 ( ) . 1 0 1 1 0 1 n n n m m m a x a x a b x b x b P x + + + + + + = − −   以下来证明 ( ) max ( ) ( ) ( ). , P f x P x f m n a x b  = − =    因为 P(x) 只可能在有限多个点 处 变为无穷，而在 [a,b] 区间的其它点 ~ x 处，显然有 lim ( ) ( ) ~ ~ Q x P x i i = → . （1.5）