中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 Fokker-Planck方程: ∫p()=-p(0)+Ap1() P(1)=1P1-()-(x,+H1)P,(t)+H1P 其中i=0,1,2,…,j=1,2,…。以上的λ,n(n=012,…)均可以 是t的函数。 如果{X()t≥0的极限分布存在,即p=mp,(1),且与i无 关,则有p(1)=0(→>∞),因此在 Fokker-Planck方程中令t→, 有: 1P0+H1P1=0 P=1-(41+H)P1+HmP+1=0j2 解以上代数方程组得: PI P0,P2 P,…,p2=xx…1- 1112x…k 利用:∑p=1,我们有: 1+ 1142… 由此可知,当 < k=11H2…{k 时,0<p0<1,0<p<1(k≥1),因此可得以下定理: 定理:设{X(t)t≥0}时生灭过程,λ>0,1≥0,>0,≥1, =0,则{X(t),t≥0}存在唯一的平稳分布(它就等于极限分布 的充要条件为 < 1142中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 Fokker-Planck 方程：     = − + +  = − + −1 −1 +1 +1 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j j pj p t p t p t p t p t p t       其中 i = 0,1,2,  , j =1,2,  。以上的  n  n , （ n = 0,1,2,  ）均可以 是 t 的函数。 如果 {X(t), t  0} 的极限分布存在，即 p lim p (t) i j t j → = ，且与 i 无 关，则有 p (t) = 0 (t →) j ，因此在 Fokker-Planck 方程中令 t →  ， 有：    − + + =  − + = − − ( ) + + 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 p p p j p p  j j  j  j j  j j   解以上代数方程组得： 0 1 2 0 1 1 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 p p , p p , , p p k k k                − = = = 利用：  =1 kS pk ，我们有： 1 1 1 2 0 1 1 0 1 −  = −         = +  k k k p         由此可知，当     = − 1 1 2 0 1 1 k k k         时， 0 1, 0 1 ( 1)  p0   pk  k  ，因此可得以下定理： 定理：设 {X(t), t  0} 时生灭过程， i  0 , i  0 ， i  0 , i 1 ，  0 = 0 ，则 {X(t), t  0} 存在唯一的平稳分布（它就等于极限分布） 的充要条件为：     = − 1 1 2 0 1 1 k k k        