78 线性代数重点难点30讲 第15讲矩阵的对角化 若n阶矩阵A与对角矩阵A相似则称A可以相似对角化.不是任意一个方阵都能对 角化 1.矩阵对角化的充要条件 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.由于不同特征值所 对应的特征向量线性无关,因此若A有n个互不相等的特征值A1,A2,…,A,则A必与对角 矩阵相似 2.矩阵对角化的步骤 ①求A的特征值;②对于每个特征值A,求齐次方程组(A-AE)x=0的基础解系, 若每个λ,的重数k1等于基础解系解向量的个数n=R(A-AE),即k,=n-R(A-AE), 则A可以对角化;③以A的n个线性无关的特征向量a1,a2,…,n为列,构造可逆矩阵 2 n).则有 A(a1,a2,…,an)=(Aax1,Aa2,…,Aan) 入 即有 P-lAP 3.实对称矩阵的对角化 由于实对称矩阵A一定有n个线性无关的特征向量,所以实对称矩阵A一定能对角 化,且存在正交矩阵P,使 P AP 又由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的,所以当A有n个不同特征 值入,入2,…,入。时,只需将对应的特征向量a,a2…an单位化得B1=Ta1Ⅱ,B2=