经济数学基础 第五章不定积分 由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是2x,即它使得()=2x成立, 我们在下列函数中进行选择:2,1+x2,x2-4,hx,2x+1 经验证知1+x和x2-4是2x的原函数 通过这个过程应该弄清,求已知函数的原函数,就是看哪个函数的导函数是已 知函数,这个函数就是所求的原函数 另外,2x的原函数不唯一.它告诉我们原函数不止一个 再从另一方面提出问题:snx为哪个函数的原函数? (snx)=cosx,说明Sx是cOSx的原函数 同样(snx+3)=cosx,说明inx+3是cosx的原函数 事实上,Snx+c都是cOSx的原函数,说明原函数有无穷多个.那怎样求出一 个函数的所有原函数呢?这是下面要讨论的 若F(x),Gx)都是(x)的原函数,则G(x)=F(x)+c 证:设H(x)=F(x)-G(x) H(x)=F'(x)-G(x)=f(x)-f(x)=0 可知f(x)=-C,即G(x)=F(x)+c 这个结论非常重要,我们已经知道,若F(x)是f(x)的原函数,则f(x)+C都 是∫(x)的原函数.而这个结论告诉我们任意两个原函数之间差一个常数.所以只 要求出一个原函数,就能得到所有原函数 问题思考1:如果一个函数f(x)有原函数,它可能有多少个原函数 答案有无穷多个原函数经济数学基础 第五章 不定积分 ——143—— 由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是 2x ，即它使得 ( ) = 2x 成立， 我们在下列函数中进行选择：2, 1 , 4, ln , 2 1 2 2 + − + x x x x 经验证知 2 1+ x 和 4 2 x − 是 2x 的原函数． 通过这个过程应该弄清，求已知函数的原函数，就是看哪个函数的导函数是已 知函数，这个函数就是所求的原函数． 另外，2x 的原函数不唯一．它告诉我们原函数不止一个． 再从另一方面提出问题：sin x 为哪个函数的原函数？ (sin x) = cos x，说明 sin x 是 cos x 的原函数． 同样 (sin x + 3) = cos x ，说明 sin x +3 是 cos x 的原函数． 事实上， sin x + c 都是 cos x 的原函数，说明原函数有无穷多个．那怎样求出一 个函数的所有原函数呢？这是下面要讨论的． 若 F(x), G(x) 都是 f (x) 的原函数，则 G(x) = F(x) + c 证：设 H(x) = F(x) − G(x) H(x) = F(x) − G(x) = f (x) − f (x) = 0 可知 H(x) = −c，即 G(x) = F(x) + c 这个结论非常重要，我们已经知道，若 F(x) 是 f (x) 的原函数，则 F(x) + c 都 是 f (x) 的原函数．而这个结论告诉我们任意两个原函数之间差一个常数．所以只 要求出一个原函数，就能得到所有原函数． 问题思考 1：如果一个函数 f (x) 有原函数，它可能有多少个原函数？ 答案有无穷多个原函数．