系数是函数,现在,系数是一次微分式,这些一次微分式重要得很.因为它 描写一个标架跟它临近标架的关系:它临近标架动一点点,跟原来相差多 少?相差是一个微分,就是我们的u跟这几个微分式有简单的关系,最 要紧的是ω,你看它很麻烦,,从1到3,但是因为标架是正交的单位矢量 所以对于i,是反对称的.因此,你把写成一个3×3的方阵的话,这个 方阵是反对称的,它的对角线的元素都是0,并且对于对角线它是反对称的 所以只有3个真正要处理的一次微分式.你要用标架来研究几何的这种情 况,在力学很自然.力学讲一个物体在那儿移动,那么它的位置就是时间的 函数,因此,这标架是时间的函数.这种函数在力学上是一个变数的函数 因为在力学上,在动力学上,真正的变数是时间,只有一个.但是要研究几 何的话,情况来得复杂,可能这个标架是跟多于一个变数有关系,可以是多 变数的函数.因此这之间就有些关系,这关系就是你求d(de).我讲过,你用 上d的话,d用两次是0.所以你把这个关系写出来的话,就得到d是一个式 子,可以用其他的u来表示,这式子是 dui=ik∧k (6.6) 你得到这样子一组方程,这是有意义的.因为是一次微分式,你把它微 分的话是2次微分式,而在右边是两个一次微分式相乘,所以也是2次微分 式,因此这组方程不荒谬.这组方程非常要紧,它们代表运动群整个的性 质.这组方程看着复杂,其实非常简单,因为这些u;是反对称的,所以如 果i≠j的话,例如,如果i=1,j=2,那么k=3.这是因为k要是等于1,于 是有u11=0,而要是k等于2,那么有u2=0.所以这组方程式看着复杂,右 边只有一项.很简单地,你还可以得到一个特别情形,就得到 du12=u13∧u32=-u13∧u23 (6.7) 这个公式要紧极了.我们在这个情形就碰到一个新的情况:同样你们念微积 分的时候,一般只有一个空间,大概一般不是平面就是3维空间,可是我们现 在有两个空间,一个是标架常数成的空间,是3维的;另一个是我们2维的曲 面,所以我有一个2维曲面还有一个3维的空间,这3维空间是个标架.因此如 5ø❥✹❁❥, ✙ó, ø❥✹✘✬❻■✯, ❨❏✘✬❻■✯➢✞③✐. ❖➃➬ ➹❯✘➬✮✪❐➬ø↔✮✪④✞ø: ➬ø↔✮✪➘✘➎➎, ❐➷✉★❿õ è? ★❿✹✘➬❻■, Ò✹➲➣④ωi❐ωij . ❨✁➬❻■✯❿❀❭④✞ø, ✦ ✞➏④✹ωij , ✜✗➬✐❢✫, i, j✱1t3, ❜✹❖➃✮✪✹t❜④❭➔✪Þ, ➘✶ωijé➉i, j✹✬é➪④. ❖✩, ✜➨ωij❯➘✘➬3 × 3 ④✵❥④➏, ❨➬ ✵❥✹✬é➪④, ➬④é♥✧④➹↔Ñ✹0, ❄✪é➉é♥✧➬✹✬é➪④, ➘✶➄❿3➬❪t✞ÿ➤④✘✬❻■✯. ✜✞⑦✮✪✉Ï➘✁❬④❨➠❁ ❨, ó➴➛✐✞❧. ➴➛❨✘➬Ô✍ó￾✍★➘, ￾➃➬④➔➌Ò✹✣✲④ ❁❥, ❖✩, ❨✮✪✹✣✲④❁❥. ❨➠❁❥ó➴➛Þ✹✘➬★❥④❁❥. ❖➃ó➴➛Þ, ó➘➴➛Þ, ❪t④★❥✹✣✲, ➄❿✘➬. ❜✹✞Ï➘✁ ❬④➏, ❁❨✉③❹ì, ✱✕❨➬✮✪✹❐õ➉✘➬★❥❿✞ø, ✱✶✹õ ★❥④❁❥. ❖✩❨❷✲Ò❿❏✞ø, ❨✞øÒ✹✜❋d(dei). ➲❨✱, ✜⑦ Þd④➏, d⑦Ü✬✹0. ➘✶✜➨❨➬✞ø❯ñ✉④➏, Ò③tdωij ✹✘➬✯ ✝, ✱✶⑦Ù➷④ω✉✱✰, ❨✯✝✹ dωij = ωik ∧ ωkj . (6.6) ✜③t❨ø✝✘✜✵➬, ❨✹❿❄❇④. ❖➃ωij✹✘✬❻■✯, ✜➨➬❻ ■④➏✹2✬❻■✯, ✌ó➁✣✹Ü➬✘✬❻■✯★➷, ➘✶✎✹2✬❻■ ✯, ❖✩❨✜✵➬❳➥Ø. ❨✜✵➬✿➒✞➏, ➬➣❙✱ä➘❦r➬④✉ ➓. ❨✜✵➬✗ø❹ì, Ù✧✿➒❀❭, ❖➃❨❏ωij ✹✬é➪④, ➘✶➌ ✯i 6= j ④➏, ➽➌, ➌✯i = 1, j = 2, ￾➃k = 3. ❨✹❖➃k ✞✹⑧➉1, ➉ ✹❿ω11 = 0, ✌✞✹k⑧➉2, ￾➃❿ω22 = 0. ➘✶❨✜✵➬✯✗ø❹ì, ➁ ✣➄❿✘✶. ✐❀❭➃, ✜↕✱✶③t✘➬✁✴❁♦, Ò③t dω12 = ω13 ∧ ω32 = −ω13 ∧ ω23. (6.7) ❨➬Ú✯✞➏ôê. ➲➣ó❨➬❁♦Ò➁t✘➬❝④❁❨: ✸ø✜➣✬❻è ■④✣⑧, ✘➘➄❿✘➬✽✲, ▲➊✘➘❳✹➨➪Ò✹3➅✽✲, ✱✹➲➣✙ ó❿Ü➬✽✲, ✘➬✹✮✪➒❥➘④✽✲, ✹3➅④;☞✘➬✹➲➣2➅④▼ ➪, ➘✶➲❿✘➬2➅▼➪↕❿✘➬3➅④✽✲, ❨3➅✽✲✹➬✮✪. ❖✩➌ 5