果一个标架,你取它原点的话,我们说它就投影到曲面上去了,这样子就有 个投影.现在它有个名词叫做纤维丛.现在是圆周丛了,纤维是圆周,有 把圆周,而整个的圆周所成的空间就是我原来的曲面,我们叫原来的曲面为 许空间.拿同一个原点的所有单位切矢量就成纤维,于是构成纤维丛.它就 象我们衣服似的,有一条一条的线.最简单的纤维丛是它的纤维是直线,那 么它是直线丛.我试着把它比方成一把筷子,你有好多筷子,每一根筷子是 条直线,那么有好多筷子,整个筷子成一个空间,这就是我们的纤维丛,这是 直线的情况.我们现在做的情况是圆周丛.这个观念是微积分里头一个新的 观念,就是说,你不是讨论一个空间,而是你在讨论两个空间,并且这两个空 间之间有密切的关系.一个是圆周所成的空间,一个是我们的许空间,也就 是原来的曲面.这两个空间之间有我所说的这个关系,这个关系有意思极了 重要极了,因为有下面的关系 Ku1∧ (6.8) 右边是曲面上的式子,这是因为K是Gaus曲率,u1∧u2是面积度量,所以 右边是曲面上的性质.左边是一个东西的微分.c12是在纤维从E里头的 次微分式,这个一次微分式的外微分等于右边的式子.这个证明说明 Gauss 曲率只跟 Riemann度量有关,因为要是有了 Riemann度量就有u12.那么我 们右边的式子只跟 Riemann度量有关,这是 Gauss当年很得意的一个结果 连 Guass都觉得很不得了有这么样子一个关系. Gauss-Bonnet公式就是我 们要求右边这个式子的积分.我们现在有一个封闭的曲面,它是定向的, 要求右边的积分,求出它的值来.那么当时我也有一种错误,因为右边这 个式子既然是d一个东西的话,在一个封闭曲面上的积分应该是0.事实 上,它应该等于12沿着这个曲面的边界的积分,而如果曲面是封闭的,它 没有边界,所以应该是0.这显然是错的.为什么它不等于0?我们虽然 有du12=-Ku1∧u2,但这个关系不是在一个2维空间上,它是在E这个3维 空间上.所以我们只能够在3维空间利用 Stokes定理.而在3维空间的话,这 个曲面在3维空间里头就有边界了.你要把这个曲面升到3维空间去,怎么升 呢?就是每点要给一个拿这点做原点的切矢量.换句话说,这就是所谓的矢✯✘➬✮✪, ✜❘➬➷➎④➏, ➲➣⑨➬Ò❂❦t▼➪Þ❱ê, ❨ø✝Ò❿ ➬❂❦. ✙ó➬❿➬Ö★✇✮✍➅✲. ✙ó✹❐➧✲ê, ✍➅✹❐➧, ❿✘ ➨❐➧, ✌r➬④❐➧➘➘④✽✲Ò✹➲➷✉④▼➪, ➲➣✇➷✉④▼➪➃ ➂✽✲. ü✸✘➬➷➎④➘❿❭➔★✪ÞÒ➘✍➅, ➉✹è➘✍➅✲. ➬Ò ✻➲➣✤q➅④, ❿✘✣✘✣④✧. ✦❀❭④✍➅✲✹➬④✍➅✹❺✧, ￾ ➃➬✹❺✧✲. ➲❆ø➨➬✞✵➘✘➨▼✝, ✜❿Põ▼✝, ➎✘✃▼✝✹ ✣❺✧, ￾➃❿Põ▼✝, r➬▼✝➘✘➬✽✲, ❨Ò✹➲➣④✍➅✲, ❨✹ ❺✧④❁❨. ➲➣✙ó✮④❁❨✹❐➧✲. ❨➬✡✬✹❻è■➦❃✘➬❝④ ✡✬, Ò✹⑨, ✜❳✹ÿ❳✘➬✽✲, ✌✹✜óÿ❳Ü➬✽✲, ❄✪❨Ü➬✽ ✲❷✲❿➲★④✞ø. ✘➬✹❐➧➘➘④✽✲, ✘➬✹➲➣④➂✽✲, ✎Ò ✹➷✉④▼➪. ❨Ü➬✽✲❷✲❿➲➘⑨④❨➬✞ø, ❨➬✞ø❿❄❻ôê, ➢✞ôê, ❖➃❿✆➪④✞ø dω12 = −Kω1 ∧ ω2. (6.8) ➁✣✹▼➪Þ④✯✝, ❨✹❖➃K✹Gauss▼●, ω1 ∧ ω2✹➪èÝÞ, ➘✶ ➁✣✹▼➪Þ④✉➓. ✫✣✹✘➬➚Ü④❻■. ω12✹ó✍➅✲E ➦❃④✘ ✬❻■✯, ❨➬✘✬❻■✯④✐❻■⑧➉➁✣④✯✝. ❨➬②Ò⑨ÒGauss ▼●➄❐Riemann ÝÞ❿✞, ❖➃✞✹❿êRiemannÝÞÒ❿ω12. ￾➃➲ ➣➁✣④✯✝➄❐RiemannÝÞ❿✞, ❨✹Gauss ❤★✐③❄④✘➬❼✯, ❐GuassÑú③✐❳③ê❿❨➃ø✝✘➬✞ø. Gauss-BonnetÚ✯Ò✹➲ ➣✞❋➁✣❨➬✯✝④è■. ➲➣✙ó❿✘➬❯✔④▼➪, ➬✹➼✺④, ✞❋➁✣④è■, ❋ñ➬④❾✉. ￾➃❤✣➲✎❿✘➠❋Ø, ❖➃➁✣❨ ➬✯✝✑❧✹d ✘➬➚Ü④➏, ó✘➬❯✔▼➪Þ④è■❛➈✹0. ✴✧ Þ, ➬❛➈⑧➉ω12×ø❨➬▼➪④✣➂④è■, ✌➌✯▼➪✹❯✔④, ➬ ➊❿✣➂, ➘✶❛➈✹0. ❨✗❧✹❋④. ➃✤➃➬❳⑧➉0? ➲➣➥❧ ❿dω12 = −Kω1 ∧ ω2, ❜❨➬✞ø❳✹ó✘➬2➅✽✲Þ, ➬✹óE❨➬3 ➅ ✽✲Þ. ➘✶➲➣➄✕êó3➅✽✲➻⑦Stokes ➼➤. ✌ó3➅✽✲④➏, ❨ ➬▼➪ó3➅✽✲➦❃Ò❿✣➂ê. ✜✞➨❨➬▼➪☞t3➅✽✲❱, ✍➃☞ ✑? Ò✹➎➎✞➱✘➬ü❨➎✮➷➎④★✪Þ. ➛é➏⑨, ❨Ò✹➘➣④✪ 6