·1390 工程科学学报，第43卷，第10期 这种规律性亦表现的较为明显 InN(L) D= (1) 3.3开裂荷载与极限荷载 In WL-1、WL-2和WL-3梁在加载过程中，可以 发现伴随着剪跨比λ的增大，其开裂荷载依次减 4.2荷载作用梁表面裂纹的分形研究 小，在跨中率先产生竖向裂缝，随后在剪弯区出现 基于试验梁在分级加载过程中对裂缝的定位 竖向裂纹并逐渐发展为临界斜裂缝，最终无腹筋 及描绘，将每个试件的裂缝转换为数字图像，通过 梁产生破坏，都属于剪压破坏，其相应的极限荷载 盒计数法计算在不同等级荷载作用下的分形维 随着试验梁设定的剪跨比入的增大而逐渐减小 数，设定盒的尺寸为30~150mm,共13种尺寸，每 WL-4、WL-5、WL-6、WL-7、WL-8和WL-9发展趋 种尺寸相隔10mm,将这13种尺寸的盒网格覆盖 势与上述相同，都属于剪压破坏.图6是试验梁开 到无腹筋梁的表面，统计出存在裂缝的格子数 裂荷载及极限荷载的对比图，当剪跨比相同时，各 N(L),并绘制lnWL)-ln(I/L)的图像如图7. 组梁的开裂荷载并无明显的区别，随着纵筋配筋 由图5可以看出，基于不同剪跨比及纵筋配筋 率的增大，极限荷载也有较大的提高，且随着剪跨 率的无腹筋梁，其加载全过程中的裂缝发展分布 比的增大提高的程度也逐步增大 在不同网格尺寸覆盖下所展示的lnNL)-ln(1/L) 曲线具有明显的线性关系，这无腹筋梁表面的裂 200 Cracking load 180 Ultimate loac 缝在一定标度范围内具有分形特征.通过图7能 160 明显的发现荷载等级越大，lnN(L)-ln(l/L)曲线的 140 斜率越大，这代表其分形维数也越大.表4为在不 N/peo 120 同荷载作用下无腹筋梁表面的分形维数 根据表4所示，伴随着每级荷载的增加，分形 60 维数亦在相应的增大.而分形维数可以较好地反 20 映梁内部的损伤程度，分形维数与梁内部的损伤 0 WL-I WL-2 WL-3 WL4WL-5WL6 WL-7WL-8 WL-9 程度成正比关系，分形维数越大，无腹筋梁内部的 No web reinforcement 损伤越大.9组无腹筋梁中，最小和最大分形维数 图6开裂荷载与极限荷载对比图 (Dmn和Dmax)分别为0.964和1.449. Fig.6 Comparison of cracking load and ultimate load 4.3极限荷载作用下梁表面的分形研究 针对无腹筋梁受载破坏时梁表面裂缝分布分 4基于分形理论的试验结果分析 形维数进行探究，可以较好的分析其在不同剪跨 4.1裂缝分形维数D的理论计算 比及纵筋配筋率下的破坏形式.选取每组无腹筋 不规则的图像多种多样，并不是所有都具备 梁基于极限荷载作用下的裂缝进行计算统计，绘 分形特征，唯有在一定标度范围中满足自相似性 制lnN(L)-ln(I/L)曲线，如图8所示 的图像才被称为具有分形特征无腹筋混凝土 通过图8可以发现各组梁的lnN(L)-ln(I/L)曲 梁在加载过程中裂缝分布具有随机性，是否具有 线都具有较好的线性关系，这表明：无腹筋梁在极 分形特征还有待验证，基于分形理论对图像的分 限荷载作用下的梁表面裂缝仍然具有分形特征， 形维数的计算方法有：盒维数法20-2)、分形布朗运 不论在梁加载阶段还是破坏阶段都可以通过分形 动模型法22-2、小岛法2和投影覆盖法Ps2询等 几何学进行分析 针对混凝土梁表面裂缝的分形维数的测量一般选 图9表示在极限荷载作用下各组无腹筋梁表 用盒维数法.计算步骤为：采用规格为L×L的正方 面裂缝分形维数的对比图.通过对比图中各个试 形网格去覆盖无腹筋混凝土全梁的裂缝分布区 件的分形维数，可以发现在极限荷载作用下，各组 域，统计计算出覆盖区域内存在裂缝的网格数目 无腹筋混凝土梁表面的分形维数变化幅度不大， 并记为N(L),随后利用改变网格边长L来改变网 稳定在一个固定的界面，其数值变化范围为1.321~ 格密度并统计N(L),绘制lnNL)-ln(I/L)的图像 1.449,普遍都在1.33附近，这表明在不同剪跨比及 若关系曲线满足线性关系，则证明梁表面的裂缝 纵筋配筋率的作用下，无腹筋梁最终破坏时表面 具有自相似性27，拥有分形特征.lnN(L)-ln(1/L)关 裂缝的分形维数变化范围较小，剪跨比与纵筋配 系曲线的斜率即为分形维数.分形维数D表示为 筋率对其影响较小这种规律性亦表现的较为明显. 3.3    开裂荷载与极限荷载 WL-1、WL-2 和 WL-3 梁在加载过程中，可以 发现伴随着剪跨比 λ 的增大，其开裂荷载依次减 小，在跨中率先产生竖向裂缝，随后在剪弯区出现 竖向裂纹并逐渐发展为临界斜裂缝，最终无腹筋 梁产生破坏，都属于剪压破坏，其相应的极限荷载 随着试验梁设定的剪跨比 λ 的增大而逐渐减小. WL-4、WL-5、WL-6、WL-7、WL-8 和 WL-9 发展趋 势与上述相同，都属于剪压破坏. 图 6 是试验梁开 裂荷载及极限荷载的对比图，当剪跨比相同时，各 组梁的开裂荷载并无明显的区别，随着纵筋配筋 率的增大，极限荷载也有较大的提高，且随着剪跨 比的增大提高的程度也逐步增大. 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Load/kN Cracking load Ultimate load No web reinforcement WL-1 WL-2 WL-3 WL-4 WL-5 WL-6 WL-7 WL-8 WL-9 图 6    开裂荷载与极限荷载对比图 Fig.6    Comparison of cracking load and ultimate load 4    基于分形理论的试验结果分析 4.1    裂缝分形维数 D 的理论计算 不规则的图像多种多样，并不是所有都具备 分形特征，唯有在一定标度范围中满足自相似性 的图像才被称为具有分形特征[19] . 无腹筋混凝土 梁在加载过程中裂缝分布具有随机性，是否具有 分形特征还有待验证，基于分形理论对图像的分 形维数的计算方法有：盒维数法[20–21]、分形布朗运 动模型法[22– 23]、小岛法[24] 和投影覆盖法[25– 26] 等. 针对混凝土梁表面裂缝的分形维数的测量一般选 用盒维数法. 计算步骤为：采用规格为 L×L 的正方 形网格去覆盖无腹筋混凝土全梁的裂缝分布区 域，统计计算出覆盖区域内存在裂缝的网格数目 并记为 N(L)，随后利用改变网格边长 L 来改变网 格密度并统计 N(L)，绘制 lnN(L)–ln(1/L) 的图像. 若关系曲线满足线性关系，则证明梁表面的裂缝 具有自相似性[27] ，拥有分形特征. lnN(L)–ln(1/L) 关 系曲线的斜率即为分形维数. 分形维数 D 表示为 D = lnN(L) ln( 1 L ) （1） 4.2    荷载作用梁表面裂纹的分形研究 基于试验梁在分级加载过程中对裂缝的定位 及描绘，将每个试件的裂缝转换为数字图像，通过 盒计数法计算在不同等级荷载作用下的分形维 数，设定盒的尺寸为 30～150 mm，共 13 种尺寸，每 种尺寸相隔 10 mm，将这 13 种尺寸的盒网格覆盖 到无腹筋梁的表面 ，统计出存在裂缝的格子数 N(L)，并绘制 lnN(L)–ln(1/L) 的图像如图 7. 由图 5 可以看出，基于不同剪跨比及纵筋配筋 率的无腹筋梁，其加载全过程中的裂缝发展分布 在不同网格尺寸覆盖下所展示的 lnN(L)–ln(1/L) 曲线具有明显的线性关系，这无腹筋梁表面的裂 缝在一定标度范围内具有分形特征. 通过图 7 能 明显的发现荷载等级越大，lnN(L)–ln(1/L) 曲线的 斜率越大，这代表其分形维数也越大. 表 4 为在不 同荷载作用下无腹筋梁表面的分形维数. 根据表 4 所示，伴随着每级荷载的增加，分形 维数亦在相应的增大. 而分形维数可以较好地反 映梁内部的损伤程度，分形维数与梁内部的损伤 程度成正比关系，分形维数越大，无腹筋梁内部的 损伤越大. 9 组无腹筋梁中，最小和最大分形维数 （Dmin 和 Dmax）分别为 0.964 和 1.449. 4.3    极限荷载作用下梁表面的分形研究 针对无腹筋梁受载破坏时梁表面裂缝分布分 形维数进行探究，可以较好的分析其在不同剪跨 比及纵筋配筋率下的破坏形式. 选取每组无腹筋 梁基于极限荷载作用下的裂缝进行计算统计，绘 制 lnN(L)–ln(1/L) 曲线，如图 8 所示. 通过图 8 可以发现各组梁的 lnN(L)–ln(1/L) 曲 线都具有较好的线性关系，这表明：无腹筋梁在极 限荷载作用下的梁表面裂缝仍然具有分形特征， 不论在梁加载阶段还是破坏阶段都可以通过分形 几何学进行分析. 图 9 表示在极限荷载作用下各组无腹筋梁表 面裂缝分形维数的对比图. 通过对比图中各个试 件的分形维数，可以发现在极限荷载作用下，各组 无腹筋混凝土梁表面的分形维数变化幅度不大， 稳定在一个固定的界面，其数值变化范围为 1.321～ 1.449，普遍都在 1.33 附近，这表明在不同剪跨比及 纵筋配筋率的作用下，无腹筋梁最终破坏时表面 裂缝的分形维数变化范围较小，剪跨比与纵筋配 筋率对其影响较小. · 1390 · 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期