《现代控制理论基础》第三章(讲义) 式中,x∈Rn,y∈Rm,A∈Rm,C∈R 如果每一个状态x(ta)都可通过在有限时间间隔t≤t≤t内,由y(t)观测值确定,则 称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性,设t=0 能观测性的概念非常重要,这是由于在实际问题中,状态反馈控制遇到的困难是一些状 态变量不易直接量测。因而在构造控制器时,必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系 统综合”部分我们将指出,当且仅当系统是能观测时,才能对系统状态变量进行观测或估计 在下面讨论能观测性条件时,我们将只考虑由式(3.13)和(3.14)给定的零输入系统 这是因为,若采用如下状态空间表达式 x= ax+ Bi x(=e"x(0)+"fer Bu(r)di 从而 y()=Cex(0)+CLe (-TBu(r)dr+Du 由于矩阵A、B、C和D均为已知,u(t)也已知,所以上式右端的最后两项为已知,因而 它们可以从被量测值y(t)中消去。因此,为研究能观测性的充要条件,只考虑式(3.13) 和(3.14)所描述的零输入系统就可以了。 3.2.1定常系统状态能观测性的代数判据 考虑由式(3.13)和(3.14)所描述的线性定常系统。将其重写为 x= Ax 易知,其输出向量为 y()=Ce"x(0) 将e“写为A的有限项的形式,即 C 因而 y()=∑a()CA4x(0 y(1)=a0(D)Cx(0)+a1()CAx(0)+…+an-1()CA-x(0) (3.15) 显然,如果系统是能观测的,那么在0≤≤t时间间隔内,给定输出y(t),就可由式《现代控制理论基础》第三章(讲义) 7 式中， n m n n m n x R y R A R C R    ,  ,  ,  。 如果每一个状态 x(to)都可通过在有限时间间隔 to≤t≤t1 内，由 y(t)观测值确定，则 称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设 to=0。 能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状 态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系 统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。 在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由式（3.13）和（3.14）给定的零输入系统。 这是因为，若采用如下状态空间表达式 y Cx Du x Ax Bu = +  = + 则  − = + t o At A t x t e x e Bu  d  ( ) (0) ( ) ( ) 从而 y t Ce x C e Bu d Du t o At A t = + +  −    ( ) (0) ( ) ( ) 由于矩阵 A、B、C 和 D 均为已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而 它们可以从被量测值 y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，只考虑式（3.13） 和(3.14)所描述的零输入系统就可以了。 3.2.1 定常系统状态能观测性的代数判据 考虑由式（3.13）和(3.14)所描述的线性定常系统。将其重写为 y Cx x Ax =  = 易知，其输出向量为 y(t) Ce x(0) At = 将 At e 写为 A 的有限项的形式，即  − = = 1 0 ( ) n k k k At e  t A 因而 ( ) ( ) (0) 1 0 y t t CA x k n k  k − = =  或 ( ) ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) 1 0 1 1 y t t Cx t CAx t CA x n n − =  + ++ − (3.15) 显然，如果系统是能观测的，那么在 0≤t≤t1 时间间隔内，给定输出 y(t)，就可由式