《现代控制理论基础》第三章(讲义) [例3.4]考虑下列传递函数: s+2.5 显然,在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子(s+2.5)(因此少了一阶)。由于有相 约因子,所以该系统状态不能控 当然,将该传递函数写为状态方程,可得到同样的结论。状态方程为 由于 B:4=11 即能控性矩阵[B:AB的秩为1,所以可得到状态不能控的同样结论。 3.1.5输出能控性 在实际的控制系统设计中,需要控制的是输出,而不是系统的状态。对于控制系统的输 出,状态能控性既不是必要的,也不是充分的。因此,有必要再定义输出能控性。 考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统 x= Ax+ Bu y=Cx+Du (3.12) 式中,x∈R",u∈R',y∈Rm,A∈Rm,B∈R",C∈Rm,D∈Rm 如果能找到一个无约束的控制向量u(t),在有限的时间间隔t≤长≤4内,使任一给定 的初始输出y(to)转移到任一最终输出y(t),那么称由式(3.11)和(3.12)所描述的系 统为输出能控的。 可以证明,系统输出能控的充要条件为:当且仅当m×(m1)r维输出能控性矩阵 Q=[CB:CAB:CAB∷…CAB:D 的秩为m时,由式(3.11)和(3.12)所描述的系统为输出能控的。注意,在式(3.12)中 存在D项,对确定输出能控性是有帮助的。 3.2线性连续系统的能观测性 现在讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态空间表达式 x=A (3.14)《现代控制理论基础》第三章(讲义) 6 ------------------------------------------------------------------------------ [例 3.4] 考虑下列传递函数： ( 2.5)( 1) 2.5 ( ) ( ) + − + = s s s U s X s 显然，在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+2.5）(因此少了一阶)。由于有相 约因子，所以该系统状态不能控。 当然，将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。状态方程为 u x x x x       +            − =      1 1 2.5 1.5 0 1 2 1 2 1   由于       = 1 1 1 1 [B  AB] 即能控性矩阵 [B AB] 的秩为 1，所以可得到状态不能控的同样结论。 ------------------------------------------------------------------------------ 3.1.5 输出能控性 在实际的控制系统设计中，需要控制的是输出，而不是系统的状态。对于控制系统的输 出，状态能控性既不是必要的，也不是充分的。因此，有必要再定义输出能控性。 考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统 (3.12) (3.11) y Cx Du x Ax Bu = +  = + 式中， n r m n n n r m n m r x R u R y R A R B R C R D R      ,  ,  ,  ,  ,  ,  。 如果能找到一个无约束的控制向量 u(t)，在有限的时间间隔 to≤t≤t1 内，使任一给定 的初始输出 y(to)转移到任一最终输出 y(t1)，那么称由式（3.11）和（3.12）所描述的系 统为输出能控的。 可以证明，系统输出能控的充要条件为：当且仅当 m×(n+1)r 维输出能控性矩阵 [ ] 2 1 Q CB CAB CA B CA B D n     −  = 的秩为 m 时，由式（3.11）和（3.12）所描述的系统为输出能控的。注意，在式（3.12）中 存在 Du 项，对确定输出能控性是有帮助的。 3.2 线性连续系统的能观测性 现在讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态空间表达式 (3.14) (3.13) y Cx x Ax =  =