则称a为f(x,y)当(x,y)→(x,)时的二重极限 两种定义的比较： 1)定义1是一元函数极限定义的直接推广，要求函数∫在P的去心邻域 U(P)内每一点都要有定义，并且，对于U(P)中每一点，都满足不等式 f(x,y)-a<,要求太强，使用范围小！ 2)定义2要求函数f定义在一个集合AsR上，允许在P的任一去心邻域 内存在使∫无定义的点，并且仅要求在去心邻域U(P,δ)内使∫有定义的点满足 f(x,y)-d<6.比定义1要求弱，适用范围大！ 例1设 sin xy xy≠0， f(x,y)= XV 1, x2+y2=0, 求oax, 按定义1，此极限无意义。但因(0,0)是f(x,y)定义域的一个聚点，故可按定 义2求得 -nc1-00) 不但极限存在，而且f在(0,0)连续. 例2求“十字架”函数f(xy)=1,Df)={(xy)川xy=0}当(x,y)→(0,0)时 的极限。 易见，按定义1，此极限无意义。但因(0,0)是D(f)的聚点，故可用定义2 求得oofx,)=l，且/在(0,0)连续 例3求m sin xy (x,y(0,0)X 二种错误解法m。ms如=0（因如s如少） (x,y0,0)xy y 正确方法：用定义2，由夹逼准则 910 则称 a 为 f (x, y) 当 ( , ) ( , ) 0 0 x y → x y 时的二重极限. 两种定义的比较： 1）定义 1 是一元函数极限定义的直接推广，要求函数 f 在 P0 的去心邻域 ( ) U P0  内每一点都要有定义，并且，对于 ( ) U P0  中每一点，都满足不等式 f (x, y) − a   ，要求太强，使用范围小！ 2）定义 2 要求函数 f 定义在一个集合 2 A R 上，允许在 P0 的任一去心邻域 内存在使 f 无定义的点，并且仅要求在去心邻域 ( , ) U P0   内使 f 有定义的点满足 f (x, y) − a   . 比定义 1 要求弱，适用范围大！ 例 1 设      + =  = 1, 0, , 0, sin ( , ) 2 2 x y xy xy xy f x y 求 lim ( , ). ( , ) (0,0) f x y x y → 按定义 1，此极限无意义。但因 (0,0) 是 f (x, y) 定义域的一个聚点，故可按定 义 2 求得 1 (0,0) sin lim ( , ) lim ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) f x y x y f x y x y x y = = = → → . 不但极限存在，而且 f 在 (0,0) 连续. 例 2 求“十字架”函数 f (x, y) =1,D( f ) = {( x, y) | x y = 0} 当 (x, y) → (0,0) 时 的极限。 易见，按定义 1，此极限无意义。但因 (0,0) 是 D( f ) 的聚点，故可用定义 2 求得 lim ( , ) 1 ( , ) (0,0) = → f x y x y ，且 f 在 (0,0) 连续. 例 3 求 . sin lim ( , ) (0,0) x xy x y → 一种错误解法： 0 sin lim sin lim ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) =  = → → y x y x y x x y x y x y . （因 y xy xy x xy   sin sin ） 正确方法：用定义 2，由夹逼准则