lmxn=a=s>0,3N∈N,当n>N时，恒有 p(xn,a)<E（或xn∈U(xm,)={x∈X|p(x,a)<s}). 此时称点列{x}按距离p收敛 点列按距离收敛的内涵是非常广泛的。 例1空间C[a,b]中点列{xn()}按距离 px,)=max l x(0-y)}(其中x,yeC[a,b]) te a.b 收敛一{x(t)}在[a,b]上一致收敛。 例2空间L[a,b]中点列{x,(t)}按距离 pxy=(x0-0rd月 收敛一{x(t)}在[a,b]上均方收敛。 然而，按距离收敛不能刻画数学中的所有收敛性（如黎曼积分中的和式极限， 各种弱收敛等)。现代分析中还利用邻域公理或开集公理来定义拓扑空间，从而 定义许多更广泛的收敛（极限）概念。 问题4重极限概念中几个值得注意的问题（以二重极限为例） (1)两种不同定义的比较 现行的大学数学教材中，对于二重（多重)极限大体上有两种定义方法： 定义1设f是定义在点B(x,)的某去心邻域U(B)内的二元函数，a∈R 为一常数.若Ve>0,36=6(e)>0,使得当P(x,y)∈U(P,δ)时，恒有 f(x,y)-a<8, 则称a为f(x,y)当(x,y)→(x,)时的二重极限 定义2设f是定义在集合AcR上的二元函数，B(x,%)是A的一个聚 点，a∈R为一常数，若Hε>0,3δ=6(e)>0,使得当P(x,y)∈U(P,δ)∩A时， 恒有 f(x,y)-a4<8, 99 + → x = a=  N  N d n n lim  0, ，当 n  N 时，恒有 (x ,a)   n （或 x U(x , ) ={x X | (x,a)  } n n ）. 此时称点列 { }n x 按距离  收敛. 点列按距离收敛的内涵是非常广泛的。 例 1 空间 C[a,b] 中点列 {x (t)} n 按距离 ( , ) max{| ( ) ( )|} [ , ] x y x t y t t a b = −   （其中 x, y C[a,b] ） 收敛 {x (t)}  n 在 [a,b] 上一致收敛。 例 2 空间 [ , ] 2 L a b 中点列 {x (t)} n 按距离 2 1 2 ( , ) | ( ) ( ) |       = −  b a  x y x t y t dt 收敛 {x (t)}  n 在 [a,b] 上均方收敛。 然而，按距离收敛不能刻画数学中的所有收敛性（如黎曼积分中的和式极限， 各种弱收敛等）。现代分析中还利用邻域公理或开集公理来定义拓扑空间，从而 定义许多更广泛的收敛（极限）概念。 问题 4 重极限概念中几个值得注意的问题（以二重极限为例） （1）两种不同定义的比较 现行的大学数学教材中，对于二重（多重）极限大体上有两种定义方法： 定义 1 设 f 是定义在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某去心邻域 ( ) U P0  内的二元函数， aR 为一常数. 若   0,  =  ( )  0 ，使得当 ( , ) ( , ) P x y U P0    时，恒有 f (x, y) − a   ， 则称 a 为 f (x, y) 当 ( , ) ( , ) 0 0 x y → x y 时的二重极限. 定义 2 设 f 是定义在集合 2 A  R 上的二元函数， ( , ) 0 0 0 P x y 是 A 的一个聚 点， aR 为一常数，若   0,  =  ( )  0 ，使得当 P(x, y)U(P0 , )  A  时， 恒有 f (x, y) − a  