第3期 何华灿，等：无穷概念的重新统 .211· 就证明了自然数集不可数！这和定理4是矛盾的. 详细的证明过程如下： 伪定理2（自然数不可数定理） 自然数集N 是不可数集，IN|=o 证明用反证法： (a)rv=nv=2- 1)假设N是可数集，它必然与正整数集N+= {1,2,3,4…,i,…}等势，可表示成N={1,x2,3, 4,…,x,…},在i和(i=1,2,3,4,…）之间存在 一一对应关系； (b)y=noo 2)将每一个自然数都以无穷位的全码形式x:= 图4实数集和自然数集都有0位和2“个值 dadzdad;4…at…表达，即保留有穷数的二进制编码 Fig.4 The number of digits are oo,and the number of 中全部无效位和有效位，不允许省略有效位前面的 values are 2,for real number set and the natu- 所有0（例如自然数“0”是无穷位全0(00…00），自 ral number set 然数“1”是无穷位全0后面一个1(0001))； 上述2次使用对角线法进行证明之所以都是错 3)规定自然数集{1，x2,3,x4,…,,…}中的 误的，其根本原因是：放在位数d位置上的正整数 顺序是随机排列的； 1,2,3,4,…保持着几何点的形式，而放在值数v位 4)将每个自然数无：=a1a2aga4…ai…中a的 置上的实数（或自然数）1,2,3,4，…被展开成了 值改变为{0,1}中的另一个值b:; 无穷位编码符号串x:=0.a1a2a3…a#…am（或者 5)这样就可得到一个新的全码形式的自然数 x:=aa2a3…aa…am,i=1,2,3,…,o）,它们之间 y=bb2b3b4…b:…,由于y中至少有b:与x:中的aa 的一一对应关系是不同“质”的对应关系，没有可比 不相同，所以y{x1,x2,3,x4,…,,…}; 性，其结论当然是无效的.考察康托尔的其他证明， 6)由于自然数集{1,2，，4，…，x,…}的顺序 之所以都正确无误，是因为他把所有的数都同时作 是随机排列的，可以任意改变，a:的值也是随机出现 为几何点来看待的，是在同“质”的基础上进行的对 的，可以任意改变，所以上述几点已经一般性地证明了 比，也没有出现如图4(b)那样的整体和局部对应的 自然数集N是可数集合的前提假设不成立， 错误 7)根据定义4，自然数集N是不可数集合，其势 现在回头来分析，康托尔当年选择实无穷理论 INI>0o; 作为他的探索目标是正确的：他以集合论为工具来 8)由于自然数x=a1a2a3a4…am…中每位都 研究无穷概念的基本路线是正确的：他用元素之间 有O0、1两种取值的可能性，自然数集N的势INI= 的一一对应方法来判定集合间的等势关系也是正确 2,所以有20=ω1>w0成立. 的：他已经成功地证明了3个保级函数n+o=n× 这显然是个不可接受的错误证明，然而它与伪 0=（0)”=∞的成立，如果再进一步证明了2”= 定理1的证明过程完全一样，差别只是一个小数点 ∞也是保级函数，他建立实无穷的道路就全部打通 的有无！可见对角线法是否正确是值得怀疑的.更 了.但是由于“实数不可数定理”的失误，他得到了 有甚者，利用对角线法可以导出如下悖论：如果定义 一个使实无穷不断扩大的升级函数2”>∞，才不得 正整数集是可数集，则可以证明正整数集是不可数 不提出层次实无穷观和相对实无穷概念.可见康托 集.为什么会这样？从编码的角度看，其中的道理十 尔离建立实无穷概念的目标只差一步之遥，他没能 分简单，因为自然数集和实数的原始编码完全一样， 走完这最后一步是非常遗憾的，为此数学在这里徘 都有∞位和2”个不同的值，即rd=nd,w=nv(见图 徊了130多年！ 4).而正整数集和自然数集两者只差一个自然数 3 完全译码算法和现实数 “0”,也有∞位和2”个不同的值.可见对角线法和 伪定理1都是错误的，康托尔的连续统假设、超限基 根据完全编码算法，已经从原理上明白了一个 数假设和层次实无穷观都是错误的. 重要的自然规律：无穷位计数器生成的全部编码仍 然是无穷个，也就是说通过无穷位计数器的编码不