210 智能系统学报 第5卷 a)一种是自下向上的无限倍增法（见图3 最左叶结点0代表过程结束，用E表示.整个 (a)),它能够生成全部的自然数，其具体过程是： 无穷层满二叉树有层，2”个叶结点，每个叶结点 从最左叶结点S开始，它代表自然数0： 正好代表1个单位区间实数. 通过倍增生成第1层父结点，得到的叶结点代 对比图3(a)和(b)2棵无穷层满二叉树，尽管 表[0,1]中的全部自然数0和1； 一个代表自然数集，其势是©，另外一个代表单位区 通过倍增生成第2层父结点，得到的叶结点代 间实数，其势是2”；但它们都有∞层，2”个叶结点， 表[0,3]中的全部自然数0、1、10、11； 是完全同构的，而已经定义自然数集的势是∞，所以 通过倍增生成第3层父结点，得到的叶结点代 必然有2”=∞成立， 表[0,7]中的全部自然数0、1、10、11、100、101、110、 从康托尔的层次实无穷观到无穷概念的重新统 111; 一，历史走过了一个多世纪，但从公式上看，只差一 4 个符号：是2=0还是2”>∞？由于本文证明了 一般地，通过倍增生成第层父结点，得到的叶 2”=∞成立，升级函数变成了保级函数，促使实无 结点代表[0,2”-1]中的全部自然数0,1,10,11， 穷不断升级的根源消除了，层次实无穷观失去了理 100,101,110,111,…,1…11; 论支撑，自然回归为统一实无穷观。 2.6康托尔失误的原因 最后，通过倍增生成第∞层父结点，得到的叶结 康托尔证明实数不可数定理的基本思想是：正 点代表全部自然数0,1,10,11,100,101,110,111， 整数的势是∞，实数的势是2”，它们之间当然不可 …,1…11000,1…11001,1…11010,1…11011, 能建立一一对应关系.康托尔在对角线法中把单位 1…11100,1…11101,1…11110,1…11: 区间的实数表示成无穷位编码x:=0.aa2aa…a 根结点E表示过程结束.整个无穷层满二叉树 …a。,把正整数表示为几何点1,2,3，…，0，这没 有共有∞层，2°个叶结点。 有错误，因为任何一个数值点只有惟一一个数值编 b)另一种是自上向下的无限二分法（见图3(b), 码，反之亦然，错误发生在他把作为“点”的正整数 它能生成全部的单位区间实数，其具体过程是： 和无穷位编码形式的实数中“位”进行了一一对应 从根结点S开始，它代表将被分割的实数1； 的捆绑.这就使得问题的性质发生了根本的改变，不 用二分法生成根的第1层子结点0、1，它们代 再是数集和数集之间的比较，而成了在无穷位计数 表小数点后面1位的全部单位区间实数0.0、0.1； 器中，位数和它生成的编码数的直接比较.这就像是 用二分法生成根的第2层子结点00、01、10、 用计数器的“位数”作为长度单位，去丈量计数器生 11,它们代表小数点后面2位的全部单位区间实数 成的编码数目，结果肯定是2”/0不等于1（见图4 0.00、0.01、0.10、0.11: (a)).所以通过这样的捆绑后，用对角线法永远只 用二分法生成根的第3层子结点000、001、 能考察到实数中的一个真子集，没有可能遍及所有 010、011、100、101、110、111,它们代表小数点后面3 2°个不同的值.由定义4可知，根据对角线法只能 位的全部单位区间实数0.000、0.001、0.010、 得出在实数中存在许多可数的真子集的结论，不能 0.011、0.100、0.101、0.1100.111: 得出实数不可数的结论. 反之，如果承认对角线法的证明是正确的，那么 一般地，用二分法生成根的第n层子结点 同样可以利用它证明自然数集不可数.办法十分简 0…00,0…01,0…010,0…011,…,1…11,它们代表 单：只需在证明中将x:的小数点去掉，就得到一个 小数点后面n位的全部单位区间实数0.000， 全码表示的自然数x:=aa2aa…a…am.在这里x: 0.0-01,0.0…010,0.0-011,…,0.1…11 的表示与通常的自然数表示有2点不同：一般的表 示是从低位向高位排序为am…a#…a3a2a1,且有 最后，用无限二分法生成根的第∞层子结点 效位前面的0全部被省略.但这种形式上的差别不 0…00,0001,0…010,0011,…,1…11,它们代表 会影响证明的有效性.同样利用a:（i=1,2,3,…) 小数点后面位的全部单位区间实数0.0…00， 将自然数的位数和正整数的值数捆绑起来，就可以 0.0…001,0.0010,0.0011,…,0.1…11; 构造出一个新的自然数b=b,b2b3…bb。来，于是