赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 即有 0n)(2a√+/=0 d dy 所以有 i2+j2 其中cx,cy是常数.故有 dr (x) 由此可得临界曲线为直线 现计算二阶变分,有 dr ()(s, n)=/m arari )sat, 式中 a4 y (2+2)3 可见上述矩阵半正定,即两点之间最短曲线为直线 事例2(相空间中轨迹).考虑泛函 (a6R)3a()以()=亚9(出=( 的最小值 计算一阶变分,有 d dr 式中 af(af ))∈R1 af/af 故有 Euler- Lagrange方程 0fd/0 (t)=0∈ 亦即有 f d/ af ark dt( ai (t)=0,k=1 所以,有 28(x)2-元(9y2)1)m()2-((x)过+92)=0赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 即有    d dt ( ∂f ∂x˙ ) (t) = d dt ( x˙ √ x˙ 2 + ˙y 2 ) (t) = 0, d dt ( ∂f ∂y˙ ) (t) = d dt ( y˙ √ x˙ 2 + ˙y 2 ) (t) = 0. 所以有 x˙ √ x˙ 2 + ˙y 2 (t) = cx, y˙ √ x˙ 2 + ˙y 2 (t) = cy, 其中 cx, cy 是常数. 故有 dy dx (x) = cy cx = const, 由此可得临界曲线为直线. 现计算二阶变分, 有 d 2A dΓ (Γ)(ξ, η) = ∫ b a η˙ T ∂ 2f ∂Γ˙ ∂Γ˙ (Γ˙ ) ˙ξdt, 式中 ∂ 2f ∂Γ˙ ∂Γ˙ (Γ˙ ) =   ∂ 2f ∂x∂˙ x˙ ∂ 2f ∂x∂˙ y˙ ∂ 2f ∂y∂˙ x˙ ∂ 2f ∂y∂˙ y˙   = 1 ( ˙x 2 + ˙y 2) 3 2 ( y˙ 2 −x˙y˙ −x˙y˙ x˙ 2 ) (t), 可见上述矩阵半正定, 即两点之间最短曲线为直线. 事例 2 (相空间中轨迹). 考虑泛函 C 1 ([a, b]; R m) ∋ x(t) 7→ A (x) = ∫ b a 1 2 gij (x) ˙x ix˙ jdt =: ∫ b a f(x, x˙)dt 的最小值. 计算一阶变分, 有 dA dx (x)(ξ) = ∫ b a ( ∂f ∂x ξ + ∂f ∂x˙ ˙ξ ) dt, 式中 ∂f ∂x = ( ∂f ∂xi (x, x˙) ) ∈ R 1×m, ∂f ∂x˙ = ( ∂f ∂x˙ i (x, x˙) ) ∈ R 1×m. 故有 Euler-Lagrange 方程 ∂f ∂x − d dt ( ∂f ∂x˙ ) (t) = 0 ∈ R 1×m, 亦即有 ∂f ∂xk − d dt ( ∂f ∂x˙ k ) (t) = 0, k = 1, · · · , m. 所以, 有 1 2 ∂gij ∂xk (x) ˙x ix˙ j − d dt (gkjx˙ j )(t) = 1 2 ∂gij ∂xk (x) ˙x ix˙ j − ( ∂gkj ∂xi (x) ˙x ix˙ j + gkjx¨ j ) = 0. 6