赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 有 dB dφ a2f an apsara aoa az2 aVi Vioaga ajai 02f 02n3 +(ab°8 av;oavioa art avk;savio d.rkarj)ari aoav. V;oa aviVi oa arq avpvgo, oa axparg 825a 02 aoao a 8- v2g ,(Vn,(2n)2) av0 p aAvφ aViv2φ vE da, v2φaav2oovφav2oov2g 此处 ov ao lov goy e Roby s )e Rod 0x2 vdovφ( avigaavio3 )∈R(m)x(m =(下)∈mm av20av20avVoo0v vB ∈R(nm)×(nm2) 3应用事例 3.1一般事例 事例1(平面上连接两点之间的最短曲线).考虑泛函 e(2:r=2=(m0)→()=/√到+m y(t) 的最小值 计算一阶变分,有 dr ()E 故有 Euler- Lagrange方程 (t)=0∈赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 有 d 2A dϕ 2 (ϕ)(ξ, η) = dB dλ (0) = ∫ Ω [( ∂ 2f ∂ϕβ∂ϕα η β + ∂ 2f ∂∇iϕβ∂ϕα ∂ηβ ∂xi + ∂ 2f ∂∇j∇iϕβ∂ϕα ∂ 2η β ∂xj∂xi ) ξ α + ( ∂ 2f ∂ϕβ∂∇iϕα η β + ∂ 2f ∂∇jϕβ∂∇iϕα ∂ηβ ∂xi + ∂ 2f ∂∇k∇jϕβ∂∇iϕα ∂ 2η β ∂xk∂xj ) ∂ξα ∂xi + ( ∂ 2f ∂ϕβ∂∇i∇jϕα η β + ∂ 2f ∂∇qϕβ∂∇i∇jϕα ∂ηβ ∂xq + ∂ 2f ∂∇p∇qϕβ∂∇i∇jϕα ∂ 2η β ∂xp∂xq ) · ∂ 2 ξ α ∂xi∂xj ] dx = ∫ Ω ( η T, (∇η) T, (∇2η) T )   ∂ 2f ∂ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂ϕ∂∇2ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇2ϕ ∂ 2f ∂∇2ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂∇2ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂∇2ϕ∂∇2ϕ     ξ ∇ξ ∇2 ξ   dx, 此处 ∇η := ( ∂ηα ∂xi ) ∈ R nm, ∇2η := ( ∂ 2η α ∂xi∂xj ) ∈ R nm2 , ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕα∂ϕβ ) ∈ R (nm)×n , ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕα∂∇jϕβ ) ∈ R (nm)×(nm) , ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇2ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕα∂∇p∇qϕβ ) ∈ R (nm)×(nm2 ) , ∂ 2f ∂∇2ϕ∂∇2ϕ := ( ∂ 2f ∂∇i∇jϕα∂∇p∇qϕβ ) ∈ R (nm2 )×(nm2 ) . 3 应用事例 3.1 一般事例 事例 1 (平面上连接两点之间的最短曲线). 考虑泛函 C 1 ([a, b]; R) : Γ = R 2 ∋ ( x(t) y(t) ) 7→ A (Γ) = ∫ b a √ x˙ 2(t) + ˙y 2(t)dt 的最小值. 计算一阶变分, 有 dA dΓ (Γ)(ξ) = ∫ b a ∂f ∂Γ˙ (Γ˙) ˙ξdt, 故有 Euler-Lagrange 方程 − d dt ( ∂f ∂Γ˙ ) (t) = 0 ∈ R 2 , 5