赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 则有 DnO DE d(o)= lim B()-B(0)dB d Q ado a2f anas 02 (a)(vn T(a) 00b0v/5(x) v() aOao aVoaVo 式中 R", apavo'davio/(ap8v1g 02f ∈R amoah 02f 02f aV1oaV1% ∈R Ovoavo avian;o 02f 即有 do2(,)= (aa)c|() aoao aVivO 222多元向量值函数 基于泛函的一阶微分 (中)(4)=Da(φ af s(x)+ la aViga ar'aViVi oa ax'ac3 计算其二阶微分 d 2of d(0)m)=Dn0D∈()=A1mR Dsa(φ+n)-Da(φ) 引入 B(入):R3A→B(从)=Da(中+An) af aviga art dViJa axa.c3赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 则有 Dη ◦ DξA (ϕ) = lim λ→0∈R B(λ) − B(0) λ = dB dλ (0) = ∫ Ω [( ∂ 2f ∂ϕ∂ϕη(x) + ∂ 2f ∂∇iϕ∂ϕ ∂η ∂xi ) ξ(x) + ( ∂ 2f ∂ϕ∂∇iϕ η(x) + ∂ 2f ∂∇jϕ∂∇iϕ ∂η ∂xj ) ∂ξ ∂xi ] dx = ∫ Ω ( η(x) (∇η) T(x) )   ∂ 2f ∂ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ   ( ξ(x) ∇ξ(x) ) dx, 式中 ∇ξ(x) := ( ∂ξ ∂xi (x) ) ∈ R m, ∂ 2f ∂ϕ∂∇ϕ := ( ∂ 2f ∂ϕ∂∇iϕ ) = ( ∂ 2f ∂ϕ∂∇1ϕ · · · ∂ 2f ∂ϕ∂∇mϕ ) ∈ R 1×m, ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕ∂ϕ) =   ∂ 2f ∂∇1ϕ∂ϕ . . . ∂ 2f ∂∇mϕ∂ϕ   ∈ R m×1 , ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕ∂∇jϕ ) =   ∂ 2f ∂∇1ϕ∂∇1ϕ · · · ∂ 2f ∂∇1ϕ∂∇mϕ . . . . . . ∂ 2f ∂∇mϕ∂∇1ϕ · · · ∂ 2f ∂∇mϕ∂∇mϕ   ∈ R m×m, 即有 d 2A dϕ2 (ξ, ξ) = ∫ Ω ( ξ(x) (∇ξ) T(x) )   ∂ 2f ∂ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ   ( ξ(x) ∇ξ(x) ) dx. 2.2.2 多元向量值函数 基于泛函的一阶微分 dA dϕ (ϕ)(ξ) = DξA (ϕ) = ∫ Ω ( ∂f ∂ϕα ξ α (x) + ∂f ∂∇iϕα ∂ξα ∂xi + ∂f ∂∇i∇jϕα ∂ 2 ξ α ∂xi∂xj ) dx, 计算其二阶微分 d 2A dϕ 2 (ϕ)(ξ, η) = Dη ◦ DξA (ϕ) = lim λ→0∈R DξA (ϕ + λη) − DξA (ϕ) λ . 引入 B(λ) : R ∋ λ 7→ B(λ) = DξA (ϕ + λη) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕα ξ α (x) + ∂f ∂∇iϕα ∂ξα ∂xi (x) + ∂f ∂∇i∇jϕα ∂ 2 ξ α ∂xi∂xj (x) ] dx, 4