赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 此处利用了va=0.进一步,可有 af O.:vioo aa(a)da (x)e°(x)(x)da axjar'laViVioa 0 2 axjax'laviVioa )(az)e()da an ax'(av v,oa) (ac)e(z)do axjaxioViV;oa /(a)0(a)dx J2 azjar\av v;oa/(a)0(a)da v2φ )(a)(x)n 此处利用了(x)=0.当φ∈2(R)为s()临界点时,由(x)的任意性,可得 Euler-Lagrange方程 o/(2)+ a af azjazi(aV v/)(a)=0,1≤a≤n 也可记为 af v/(a)+ (x)=0∈Rn. 22二阶变分 22.1多元函数 基于泛函的一阶微分 a(o)()=D() 「of (x,以(x),Vm)(x)+、0f av d(z, o(ez), vo(e2)azi(z) daz, 可计算其二阶微分: ()(,m)=Dn。Dsa(q) DEd(o+An)-De 入→0∈R B(入):R3A+B(A=Dc(+A) 0(2,.(2)+Am2),yo()+m(m)() +a,0()+M(,)+Ama))小d赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 此处利用了 ∇θ   ∂Ω = 0. 进一步, 可有 − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) ∂θα ∂xj (x)dx = − ∫ Ω ∂ ∂xj [ ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x) ] (x)dx + ∫ Ω ∂ 2 ∂xj∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x)dx = − I ∂Ω n j ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x)dσ + ∫ Ω ∂ 2 ∂xj∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x)dx = ∫ Ω ∂ 2 ∂xj∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x)dx =: ∫ Ω [ ∇2 ( ∂f ∂∇2ϕ ) (x) ] · θ(x)dx, 此处利用了 θ(x)   ∂Ω = 0. 当 ϕ ∈ C 2 (Ω; R n ) 为 A (ϕ) 临界点时, 由 θ(x) 的任意性, 可得 Euler-Lagrange 方程 ∂f ∂ϕα − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕα ) (x) + ∂ 2 ∂xj∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x) = 0, 1 6 α 6 n, 也可记为 ∂f ∂ϕ − ∇ · ( ∂f ∂∇ϕ ) (x) + ∇2 ( ∂f ∂∇2ϕ ) (x) = 0 ∈ R n . 2.2 二阶变分 2.2.1 多元函数 基于泛函的一阶微分 dA dϕ (ϕ)(ξ) = DξA (ϕ) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x), ∇ϕ(x))ξ(x) + ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) ∂ξ ∂xi (x) ] dx, 可计算其二阶微分: d 2A dϕ2 (ϕ)(ξ, η) = Dη ◦ DξA (ϕ) = lim λ→0∈R DξA (ϕ + λη) − DξA (ϕ) λ , 作 B(λ) : R ∋ λ 7→ B(λ) = DξA (ϕ + λη) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x) + λη(x), ∇ϕ(x) + λ∇η(x))ξ(x) + ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x) + λη(x), ∇ϕ(x) + λ∇η(x)) ∂ξ ∂xi (x) ] dx, 3