推论,(G)=GG(,F)=G(F,),如果G为实变函数 总之,M)=J。 ( rp(r)dr+1f(er;2 4 anu(p) OG(,F 物理意义:点源产'处产生的势传播到F处:G(,F),再对整体求和,加上边界 条件产生的势,总和为产处的势分布。 4. Green函数的奇异性及其随空间维数降低的减弱性。 1).(有)无界区域Gren函数-基本解G(r,F) a)无界区域:LG=-(F-F)设解为G(F,F)(详解见下),则基本解G(F,F)为有 限形式,且中心对称(与|-F有关)以及关于F=F发散(奇异性与维度D有关) b)有界区域:G=G0+G,LG=-8(-F)和LG1=0,G1l=-G=-G0(,F).因 为基本解G有奇异性,所以直接影响分布。点源F通过边界Σ,ie,-G(∑F)对 处的分布有直接影响。 2) Helmholtz Equation(V2+k2)G=-6(-F)的解G(F,F)在F=附近的奇 异性(具体求解见下节):3D:G∝ 发散;2D:G∝ln ,对数发 散,1D:G连续,G|.-G|=-1,导数发散 由此可见: Green函数的奇异性随空间维数的降低而减弱 143Gren函数的求法 1.方程齐次化法:将非齐次项-6(-P)变为边界条件。 1)Helmholtz Equation G"+kG=0,(x≠x) G"+kG) G=Ae[:G(x,x)=G(x,x)→积分得A=i1(2k 1=∫(G"+kGx=G"l-G"(奇异性G=A-光滑)→A=1(2k) b). 2D: G+G+kG=-d(x-x)(-y)5 推论， * ( ) ; ( , ') ( ', ) G G G r r G r r  = = ，如果 G 为实变函数。 总之， 1 ( ') ( , ') ( ) ( , ') ( ')d ' ( , ') ( ') d . 4 u r G r r u r G r r r r G r r u r n n         = + −          物理意义：点源 r ' 处产生的势传播到 r 处： G r r ( , ') , 再对整体求和，加上边界 条件产生的势，总和为 r 处的势分布。 4. Green 函数的奇异性及其随空间维数降低的减弱性。 1).（有）无界区域 Green 函数----基本解 0 G r r ( , '). a).无界区域：LG r r  ( ').  = − − 设解为 0 G r r ( , ') （详解见下），则基本解 0 G r r ( , ') 为有 限形式，且中心对称（与 | ' | r r − 有关）以及关于 r r = ' 发散（奇异性与维度 D 有关）。 b).有界区域：G G G = +0 1 , 0 LG r r  ( ')  = − − 和 1 1 0 0 LG G G G r 0, | | ( , ')  = = − = −    . 因 为基本解 G0 有奇异性，所以直接影响分布。点源 r ' 通过边界  ，i.e.， 0 −  G r ( , ') 对 r 处的分布有直接影响。 2). Helmholtz Equation 2 2 ( ) ( ')  + = − − k G r r  的解 G r r ( , ') 在 r r = ' 附近的奇 异性（具体求解见下节）：3D: 1 1 , | ' | G r r r  − 发散; 2D: 1 ln | ' | G    − ，对数发 散; 1D: G 连续， 0 0 | | 1 x x x x G G + − − = − ，导数发散。 由此可见：Green 函数的奇异性随空间维数的降低而减弱。 14.3 Green 函数的求法 1. 方程齐次化法：将非齐次项− −  ( ') r r 变为边界条件。 1) Helmholtz Equation: a). 1D: 2 G k G x x '' ( ') + = − −  2 2 ' '' 0, ( ') ( '' ) | ( '). x x G k G x x G k G x x  =  + =      + = − − | '| ' 2 | '| ' ' ' [ ( , ') ( ', )] / (2 ) : 1 ( '' )d ' | ' | ( ) / (2 ). ik x x x ik x x x x x G Ae G x x G x x A i k G k G x G G G Ae A i k     − + − + − −  = =  =   − = + = − =  =   BC 代入 积分得 奇异性, 光滑 b). 2D: 2 ( ') ( ') G G k G x x y y xx yy + + = − − −  