4.(15分)设A是3阶实对称矩阵,而且dt(4)=4,特征值为11如果-1.0为A特 征向量,求A 35.(x1,x2,x3)=x1+2x2-x3,求线性变换a在一组标准正交基下的矩阵 36.求酉矩阵P,使PAP为对角矩阵其中A=-0 37.一矩阵P称为酉阵,若PP*=E,P*为P的共轭转置,求酉阵P,使PAP为对角阵,其中 A 004 38.(20分)(1)在R2中内积定义为 x,y)=4x1y1+x2y2 其中x=(x1,x2),y=(v,v)'∈R2.令S={x:‖c=1},Ⅲ表示向量的长度,说明S是什么形 状的图形,并画出草图 (2)令 证明W关于矩阵的加法和数乘成为R上的线性空间,并求出W的维数,给出W的一组基 39.设V是实数域上所有n阶对称矩阵所构成的线性空间,对于任意A,B∈V,定义(A,B)=tr(AB 其中tr(AB)表示矩阵AB的主对角线上数的和 (1)证明V构成一欧氏空间; (2)求子空间S={4tr(4)=0}的维数和一组基; (3)求S的正交补的一组基和维数 40.把3维单位向量 (1,1,1) 扩充为3维欧氏空间R3的标准正交基 41.(15分)设V=R4是实数域R上通常的4维欧氏空间,1=(,是,,)和e2=(,号,是,号),求V 中向量e3,E4使得E1,E2,e3,E4为V的一组标准正交基. 734. (15 ©)  A ¥3 ¢È°› , Ö det(A) = 4, Aäè 1, 1, λ, XJ     1 −1 0     ,     1 0 −1     è A A ï˛, ¶ A . 35. A (x1, x2, x3) =   2x1 + x2 + x3 x1 + 2x2 − x3 x3   , ¶Ç5CÜ A 3ò|IOƒe› . 36. ¶j› P, ¶ P ∗AP èÈ› , Ÿ• A =   −1 i 0 −i 0 −i 0 i −1   . 37. ò› P °èj , e P P∗ = E, P∗ è P 
›=ò, ¶j P, ¶ P ∗AP èÈ , Ÿ• A =   0 0 3 0 0 4 −3 −4 0   38. (20 ©) (1)3 R2 •S»½¬è hx, yi = 4x1y1 + x2y2 Ÿ• x = (x1, x2), y = (y1, y2) 0 ∈ R2 . - S = {x : kxk = 1}, kk L´ï˛›, `² S ¥üo/ G„/, øx—˙„. (2) - W = (" a b c d # : 2a − b + 3c + d = 0, a, b, c, d ∈ R ) y² W 'u› \{⁄Ͷ§è R ˛Ç5òm, ø¶— W ëÍ, â— W ò|ƒ. 39. V ¥¢Í粧k n È°› §§Ç5òm, Èu?ø A, B ∈ V, ½¬ (A, B) = tr(AB) Ÿ• tr(AB) L´› AB ÃÈDzÍ⁄. (1) y² V §òÓºòm; (2) ¶fòm S = {A|tr(A) = 0} ëÍ⁄ò|ƒ; (3) ¶ S ÷ò|ƒ⁄ëÍ. 40. r3ë¸†ï˛ γ1 = 1 √ 3 (1, 1, 1) *øè3 ëÓºòm R 3 IOƒ. 41. (15 ©) V = R 4 ¥¢ÍçR ˛œ~4 ëÓºòm, ε1 = ￾ 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2
⁄ε2 = ￾ 1 2 , −1 2 , 1 2 , −1 2
, ¶V •ï˛ ε3, ε4 ¶ ε1, ε2, ε3, ε4 è V ò|IOƒ. 7 厦门大学《高等代数》