第4期 成谢锋，等：混沌卷积混合信号的预测重构盲反卷积方法 ·65· Bp y(n-p)-(n-p)= 2方法描述 P y(n-p)+apy(n-p+k, 18 2.1混沌信号的反卷积预测模型与混沌滤波器 一个信号经过信道的传输，总会受信道的影响 整理得 产生延迟和衰减，比如反射地震数据中就受岩层结 Bp Bp.1(n-1)-kpep.1(n) 19) 构的影响，海洋波声数据中就含有海岸反射信息；胎 并且由式(15、19)可得，p=0时 儿心电信号经母体传递就会产生反射衰减，研究人 e(n)Bo y(n), 20) 员把这种使原始信号变得混淆的现象解释为卷积. 要同时使向前和向后误差最小，有 因此，一般情况下，传感器测得的信号是源及其衰减 dE[p (n)+Bi(n)1/okp =0. 和延迟的混合信号的线性组合，也即是卷积混合信 Ef-2Bp.1(n-1)ep.i(n kpep.(n+ 号.与瞬时混合相比，解决卷积混合问题的难度更 kpBp1(n-1)1=0, 大，更接近实际情况2 故 kp= 2E/Bm1(n-1)em.1(n)1 21) 设s()为混沌信号，h()为信道的冲击响应 E[1(W+Bn1(n-1)J 那么其卷积模型为 根据混沌的统计特性，混沌信号具有各态历经 e 特性，因此可以用时间平均近似取代集合平均 y(n h(n s(t-n. (9) 2∑IBp-1(n-l)ep-1(W] 设观测到的混沌卷积混合信号y(W的长度为M,设 22) 计一个P阶反卷积滤波器，使得s(的一个估计 (n+B(n1] (W有 由此可递推出针对混沌的反卷积滤波器的各阶系 min (n-h(n *y(n2 (10) 数 据线性预测原理，对于白噪声激励的观测序列 2.2混沌滤波器的定阶 可以用线性差分方程建模，由于混沌的类随机性，所 混沌滤波器的阶P是一个重要的问题.由于混 以对观测到的混沌卷积混合信号y(W有 沌信号具有噪声特性，根据有关文献.121的研究， P 可以使用最小描述长度判据： (=∑aty(n-d, (11) 春 min(pm)=MnG+号anM.( 23) (n-p)=->apty (n-p+k). (12) 式中：0。是预测误差，随着数据长度M的增加， 由于(m使用y(m之前的各种数据的加权线 应趋于零，当∫(P)表现出鲜明的极小值时，可确定 性组合，故称为前向预测模型，夕(n-p)使用的是 出P的值.但是，在短数据情况下，对阶次P的值通 y(W之后的数据的线性加权之和，故称为向后预测 常估值过高，并且∫(P)有时会出现多个极小值.针 模型.那么前向误差： 对混沌所具有的统计特性，通常取P为 ep(k)=y(n)-(n)= P≥D±1 24 P 式中：D为混沌动力学系统自变量的个数.总之，P y(W+aty(n-k材， (13) 值选取应通过实验反复验证，直到获得满意的效果 根据levinson所给出线性差分方程(Yule-walker方 为止 程)的递推公式1，有 2.3混沌信号的相空间重构 apk ap-1.+kpap-1.p., (14) 由于混沌信号类似于白噪声但并非真正的白噪 整理得 声，所以经过混沌滤波器复原出的信号(m并非与 ep(n)ep.1(n kpBp1(n-1). 15) 源信号s(完全相同，但与s(又基本同形，依据 式中： 混沌动力学理论，可以认为()与s(微分同胚， p-1 因此可据（重构出混沌系统的吸引子，再根据混 ep.1(n)y(n) ap.1.kv(n-k). 16) 沌吸引子光滑流形的几何特性，重构出混沌系统的 p.I 动力学方程，最终实现用这种方法去进一步恢复源 (n-1)=y(n-p)ap..ty(n-p+k. 信号的目的 17) 根据Takens!]和Sauer!)嵌入理论，s(ml构成 同理可得向后误差： 原混沌系统的可微嵌入.{s(}所在的最小流形M 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.htp://www.cnki.net2 方法描述 2. 1 混沌信号的反卷积预测模型与混沌滤波器 一个信号经过信道的传输 ,总会受信道的影响 产生延迟和衰减 ,比如反射地震数据中就受岩层结 构的影响 ,海洋波声数据中就含有海岸反射信息;胎 儿心电信号经母体传递就会产生反射衰减 ,研究人 员把这种使原始信号变得混淆的现象解释为卷积. 因此 ,一般情况下 ,传感器测得的信号是源及其衰减 和延迟的混合信号的线性组合 ,也即是卷积混合信 号. 与瞬时混合相比 , 解决卷积混合问题的难度更 大 ,更接近实际情况[2 - 4 ] . 设 s( n) 为混沌信号 , h ( n) 为信道的冲击响应 , 那么其卷积模型为 y ( n) = ∑ ∞ n = 0 h( n) s( t - n) , (9) 设观测到的混沌卷积混合信号 y ( n) 的长度为 M ,设 计一个 P 阶反卷积滤波器 , 使得 s ( n) 的一个估计 ^y ( n) 有 min ‖^y ( n) - h( n) 3 y ( n) ‖2 . (10) 据线性预测原理 ,对于白噪声激励的观测序列 可以用线性差分方程建模 ,由于混沌的类随机性 ,所 以对观测到的混沌卷积混合信号 y ( n) 有 ^y ( n) = - ∑ P k = 1 apk y ( n - k) , (11) ^y ( n - p) = - ∑ P k = 1 apk y ( n - p + k) . (12) 由于 ^y ( n) 使用 y ( n) 之前的各种数据的加权线 性组合 ,故称为前向预测模型 , ^y ( n - p) 使用的是 y ( n) 之后的数据的线性加权之和 ,故称为向后预测 模型. 那么前向误差 : ep ( k) = y ( n) - ^y ( n) = y ( n) + ∑ p k =1 apk y ( n - k) , (13) 根据 levinson 所给出线性差分方程( Yule2walker 方 程) 的递推公式[5 ] ,有 apk = ap- 1 , k + k p a p- 1 , p- k , (14) 整理得 ep ( n) = ep- 1 ( n) - k pB p- 1 ( n - 1) . (15) 式中 : ep- 1 ( n) = y ( n) ∑ p- 1 k = 1 ap- 1 , k y ( n - k) , (16) B p- 1 ( n - 1) = y ( n - p) + ∑ p- 1 k =1 ap- 1 , k y ( n - p + k) . (17) 同理可得向后误差 : B p = y ( n - p) - ^y ( n - p) = y ( n - p) + ∑ p k = 1 apk y ( n - p + k) , (18) 整理得 B p = B p- 1 ( n - 1) - k p e p- 1 ( n) . (19) 并且由式(15) 、(19) 可得 , p = 0 时 e0 ( n) = B0 = y ( n) , (20) 要同时使向前和向后误差最小 ,有 5E[ e 2 p ( n) + B 2 p ( n) ]/ 5k p = 0 , E[ - 2B p- 1 ( n - 1) ep- 1 ( n) + k p e 2 p- 1 ( n) + k pB 2 p- 1 ( n - 1) ] = 0 , 故 k p = 2E[ B p- 1 ( n - 1) ep- 1 ( n) ] E[ e 2 p- 1 ( n) + B 2 p- 1 ( n - 1) ] . (21) 根据混沌的统计特性 ,混沌信号具有各态历经 特性 ,因此可以用时间平均近似取代集合平均 : k p = 2 ∑n [ B p- 1 ( n - 1) ep- 1 ( n) ] ∑n [ e 2 p- 1 ( n) + B 2 p- 1 ( n - 1) ] , (22) 由此可递推出针对混沌的反卷积滤波器的各阶系 数. 2. 2 混沌滤波器的定阶 混沌滤波器的阶 P 是一个重要的问题. 由于混 沌信号具有噪声特性 ,根据有关文献[10 ,12 ] 的研究 , 可以使用最小描述长度判据 : min ( f ( p) ) = Mlnσ2 p + P 2 (ln M) . (23) 式中 :σp 是预测误差 , 随着数据长度 M 的增加 ,σp 应趋于零 ,当 f ( P) 表现出鲜明的极小值时 ,可确定 出 P 的值. 但是 ,在短数据情况下 ,对阶次 P 的值通 常估值过高 ,并且 f ( P) 有时会出现多个极小值. 针 对混沌所具有的统计特性 ,通常取 P 为 P ≥D ±1. (24) 式中 : D 为混沌动力学系统自变量的个数. 总之 , P 值选取应通过实验反复验证 ,直到获得满意的效果 为止. 2. 3 混沌信号的相空间重构 由于混沌信号类似于白噪声但并非真正的白噪 声 ,所以经过混沌滤波器复原出的信号 ^y ( n) 并非与 源信号 s( n) 完全相同 ,但与 s( n) 又基本同形 ,依据 混沌动力学理论 ,可以认为 ^y ( n) 与 s( n) 微分同胚 , 因此可据 ^y ( n) 重构出混沌系统的吸引子 ,再根据混 沌吸引子光滑流形的几何特性 ,重构出混沌系统的 动力学方程 ,最终实现用这种方法去进一步恢复源 信号的目的. 根据 Takens [ 8 ]和 Sauer [ 9 ] 嵌入理论 ,s( n) 构成 原混沌系统的可微嵌入. { s( n) }所在的最小流形 M 第 4 期 成谢锋 ,等 :混沌卷积混合信号的预测重构盲反卷积方法 · 56 · © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net