·66 智能系统学报 第2卷 与原混沌吸引子所在的流形是微分同胚，二者具有 过混沌反卷积滤波器后并非是最佳的原混沌信号恢 相同的维数.而(m并不在流形M上，但{(}在 复，但混沌信号的光滑流形之几何特性，是一个重要 R空间中与M具有差不多相同的形状.光滑流形 的先验知识，对解具有很强的限制.因而可以基于混 可以用流形上各点的局部切空间来近似，因而向流 沌的某些判据和这个特性来对盲反卷积后的估计信 形上进行投影可近似为向对应的局部切空间上投 号进行规整 影.根据文献7,91的奇异值分解(SVD)方法，设d 3)混沌信号经卷积运算后，一般已不再表现出 为重构维数，少(m)在n=m的邻域Q。内的邻近点 混沌特性，所以不能直接采用相空间重构法等手段 为(m)(i=1,2,…g,取Q>d,则s(所在流形 直接恢复原混沌信号」 的局部切空间和的估计为 2.4.2算法描述 0=1 不论是MLE算法、MMI算法，还是扩展H s(n) (25) 算法一般都要进行复杂的矩阵运算或张量运 m)·m 算】，特别是用神经网络模型实现时，存在运算收 敛速度慢，而学习速率参数的优化选择方式又对收 no) =h,,,a] 敛起决定性的作用).本文利用混沌的物理特性， 通过对混沌卷积混合信号波形的直接预测误差补偿 和光滑流形处理来实现预测重构盲反卷积，该方法 (26) 的步骤如下： 1)据观测数据y(W,经混沌反卷积滤波器给出 一个估计的°(m; 式中：0为域2。的中心，通常0(m).从矩阵A 2)利用°(m去重构动力学系统方程C(m,让 的SVD中，可确定出局部切空间的维数1，当它满 c(、°（通过庞加莱截面，对°（偏离直线分 足》+时，有∑G≈∑G.其局部切空间TM 1 1=1 布的点集，施以靠近限制，获得改造后的◇（川； 在R空间的坐标原点为so,它的一组正交基是[n, 3)利用(m和y(作反卷积，求°(： №，…血].那么由重构向量{(m}对应的流形M 4)为使得minl(d-h(m*y(l2,改造 上的点s(W可近似表示为 °(m为h(W; s/(W=0+Proj5((W-0). 27) 5)重复2)~4)，当h(刊的相似系数满足要求 式中：Pojw表示向M上通过点5o的切空间投 ◇(W在庞加莱截面上为一直线分布的点集时，则停 影 止迭代： 令U,=[M,,…M],{山}-1是TwM的一 上述算法包括2个反卷积和对分离结果进行进 组单位正交基；U=[,a,a1,}1是 一步重构整理和恢复的过程.由于混沌信号的类随 Ta+)M的一组单位正交基，线性映射L:TmM→ 机性，经反卷积滤波器己获得较好的°( Ta+yM,可由LS法确定.进一步整理式(27)可得 第2次反卷积因已获得y(,°(W,求( 重构动力学系统方程1： 的方法就较多，既可再一次使用反卷积滤波器，也可 s'(n+1)ULU (n+(n+1)-ULUis'(n). 使用其他反卷积方法.本文采用的是：域除法算法： (28) Y(=H(Z☑Y(☑， 2.4单输出混沌卷积混合信号的预测重构盲反卷 故 N()=Y(/Y( 29 积算法 直接用FFT实现对序列的Z交换，然后进行 2.4.1关于混沌反卷积的讨论 频域除法，并注意对数据的去复数整理，以获取真实 在研究混沌反卷积问题时，应该注意如下特点 的(md. 1)混沌信号呈类Gauss特性，这对采用MLE 由于混沌信号所特有的物理特性，可以根据 算法、MMI算法，还是采用扩展HJ算法、ARMA °(W去重构一个动力学系统方程，并由这个系统产 模型进行盲反卷积都非常有利2,1o).对于非Gauss 生一个序列c(m,然后调整°（去逼近这个序列 卷积核，由于反卷积问题的病态，核函数的小误差可 c(m.采用的判据是用c(m和°()构造一个庞加 能导改解的重大变化 莱截面，循环让°(d的各点通过这个截面.用一个 2)混沌信号又不是真正的白噪声信号，所以经 矩形窗去限制这些点集在一条具有一定宽度的直线 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net与原混沌吸引子所在的流形是微分同胚 ,二者具有 相同的维数. 而 ^y ( n) 并不在流形 M 上 ,但{ ^y ( n) }在 R d 空间中与 M 具有差不多相同的形状. 光滑流形 可以用流形上各点的局部切空间来近似 ,因而向流 形上进行投影可近似为向对应的局部切空间上投 影. 根据文献[7 , 9 ]的奇异值分解 (SVD) 方法 ,设 d 为重构维数 , ^y ( n) 在 n = n0 的邻域Ωn 内的邻近点 为^y ( ni) ( i = 1 ,2 , …, Q) ,取 Q > d ,则 s( n) 所在流形 的局部切空间和 €s0 的估计为 €s0 = 1 Q ∑ Q i =1 ^y ( ni) , (25) A = ^y ( n1 ) - €s0 ‖^y ( n1 ) - €s0 ‖ , ^y ( n2 ) - €s0 ‖^y ( n2 ) - €s0 ‖ , …, ^y ( nQ ) - €s0 ‖^y ( nQ ) - €s0 ‖ = [ u1 , u2 , …, ud ] · σ2 1 σ2 2 ω 0d×( q- d) σ2 d v T 1 v T 2 … v T Q . (26) 式中 :€s0 为域Ωn 的中心 ,通常 €s0 ≠^y ( n0 ) . 从矩阵 A 的 SVD 中 ,可确定出局部切空间的维数 l ,当它满 足σ2 l µσ2 l + 1时 ,有 ∑ l i = 1 σ2 i ≈ ∑ d i = 1 σ2 i . 其局部切空间 Ts( n) M 在 R d 空间的坐标原点为€s 0 ,它的一组正交基是[ u1 , u2 , …, ul ]. 那么由重构向量{ ^y ( n) } 对应的流形 M 上的点 s ( n) 可近似表示为 s′( n) = €s0 + Pro j T €s 0 ( M) ( ^y ( n) - €s0 ) . (27) 式中 :Pro j T €s 0 ( M) 表示向 M 上通过点 €s 0 的切空间投 影. 令 Ul = [ u1 , u2 , …, ul ] ,{ ui} l i = 1 是 Ts( n) M 的一 组单位正交 基; UŽl = [ ‰u1 , ‰u2 , …, ‰ul ] , { ‰ui } l i = 1 是 Ts( n + 1) M 的一组单位正交基 ,线性映射 L : Ts( n) M π Ts( n + 1) M ,可由 L S 法确定. 进一步整理式 (27) 可得 重构动力学系统方程[9 ] : s′( n + 1) = UlLU T l ^y ( n) + ^y ( n + 1) - UlLU T l s′( n) . (28) 2. 4 单输出混沌卷积混合信号的预测重构盲反卷 积算法 2. 4. 1 关于混沌反卷积的讨论 在研究混沌反卷积问题时 ,应该注意如下特点 : 1) 混沌信号呈类 Gauss 特性 ,这对采用 ML E 算法、MMI 算法 ,还是采用扩展 H2J 算法、ARMA 模型进行盲反卷积都非常有利[ 2 ,10 ] . 对于非 Gauss 卷积核 ,由于反卷积问题的病态 ,核函数的小误差可 能导改解的重大变化. 2) 混沌信号又不是真正的白噪声信号 ,所以经 过混沌反卷积滤波器后并非是最佳的原混沌信号恢 复 ,但混沌信号的光滑流形之几何特性 ,是一个重要 的先验知识 ,对解具有很强的限制. 因而可以基于混 沌的某些判据和这个特性来对盲反卷积后的估计信 号进行规整. 3) 混沌信号经卷积运算后 ,一般已不再表现出 混沌特性 , 所以不能直接采用相空间重构法等手段 直接恢复原混沌信号. 2. 4. 2 算法描述 不论是 ML E 算法、MMI 算法 ,还是扩展 H2J 算法 一 般 都 要 进 行 复 杂 的 矩 阵 运 算 或 张 量 运 算[1 - 2 ] ,特别是用神经网络模型实现时 ,存在运算收 敛速度慢 ,而学习速率参数的优化选择方式又对收 敛起决定性的作用[12 ] . 本文利用混沌的物理特性 , 通过对混沌卷积混合信号波形的直接预测误差补偿 和光滑流形处理来实现预测重构盲反卷积 ,该方法 的步骤如下 : 1) 据观测数据 y ( n) ,经混沌反卷积滤波器给出 一个估计的 ^y 0 ( n) ; 2) 利用 ^y 0 ( n) 去重构动力学系统方程 C( n) ,让 c( n) 、^y 0 ( n) 通过庞加莱截面 ,对 ^y 0 ( n) 偏离直线分 布的点集 ,施以靠近限制 ,获得改造后的 ^y ( n) ; 3) 利用 ^y ( n) 和 y ( n) 作反卷积 ,求 ^h 0 ( n) ; 4) 为使得 min ‖^y ( n) - h ( n) 3 y ( n) ‖2 ,改造 ^h 0 ( n) 为 ^h ( n) ; 5) 重复 2) ～4) ,当 ^h ( n) 的相似系数满足要求 , ^y ( n) 在庞加莱截面上为一直线分布的点集时 ,则停 止迭代. 上述算法包括 2 个反卷积和对分离结果进行进 一步重构整理和恢复的过程. 由于混沌信号的类随 机性 ,经反卷积滤波器已获得较好的 ^y 0 ( n) . 第 2 次反卷积因已获得 y ( n) , ^y 0 ( n) ,求 ^h 0 ( n) 的方法就较多 ,既可再一次使用反卷积滤波器 ,也可 使用其他反卷积方法. 本文采用的是 z 域除法算法 : ^Y ( z) = H ( Z) Y ( Z) , 故 H^ ( z) = ^Y ( z) / Y ( z) . (29) 直接用 FF T 实现对序列的 Z 交换 ,然后进行 频域除法 ,并注意对数据的去复数整理 ,以获取真实 的 ^h 0 ( n) . 由于混沌信号所特有的物理特性 , 可以根据 ^y 0 ( n) 去重构一个动力学系统方程 ,并由这个系统产 生一个序列 c( n) ,然后调整 ^y 0 ( n) 去逼近这个序列 c( n) . 采用的判据是用 c ( n) 和 ^y 0 ( n) 构造一个庞加 莱截面 ,循环让 ^y 0 ( n) 的各点通过这个截面 ,用一个 矩形窗去限制这些点集在一条具有一定宽度的直线 · 66 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net